Trong một dự án thiết kế nội thất sảnh chính của một tòa nhà cao tầng, kiến trúc sư muốn lắp đặt hệ thống đèn trang trí gồm hai khối pha lê hình cầu \((S)\)và \((S')\). Trong hệ trục tọa độ \(Oxyz\), đơn vị là (mét), phương trình của hai khối cầu này là \((S):{x^2} + {y^2} + {(z + 1)^2} = 3\) và \((S'):{(x - 3)^2} + {(y + 2)^2} + {(z + 2)^2} = 9\). Để tạo điểm nhấn, một tấm trần thạch cao phẳng \((P):2x + y - 2z - 5 = 0\)được thiết kế cắt ngang qua cả hai khối pha lê. Tại vị trí giao nhau đó, các nghệ nhân sẽ gắn các viền hợp kim sáng bóng (là các đường tròn giao tuyến). Để thăng thêm sự bề thế, kiến trúc quyết định lắp thêm hai chụp đèn thủy tinh hình cầu \(({T_1})\)và \[({T_2})\]sao cho: Chụp đèn \(({T_1})\) (Tâm \({I_1}\), bán kính \({R_1}\)) phải ôm khít lấy viền hợp kim của khối \((S)\) trên trần \((P)\). Chụp đèn \(({T_2})\) (Tâm \({I_2}\), bán kính \({R_2}\)) phải ôm khít lấy viền hợp kim của khối \((S')\) trên trần \((P)\). Để đảm bảo tính cân đối về mặt thị giác và tối ưu hóa hệ thống dây cáp treo nối giữa các thiết bị, đơn vị thi công cần xác định vị trí của \({I_1}\)và \[{I_2}\]sao cho tổng độ dài dây cáp nối hai tâm và bán kính của hai chụp đèn \[M = {I_1}{I_2} + {R_1} + {R_2}\] là nhỏ nhất. Tìm độ dài dây nhỏ nhất đó (đơn vị mét, làm tròn đến hàng phần chục).
Câu hỏi trong đề: Đề thi thử Toán Tốt nghiệp THPT 2025-2026 Đà Nẵng !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án:
Đáp án: \(7,4\).
![Vậy \[d\left( {A,\left( {BCC'B'} \right)} \right) \approx 3,8\]. (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2026/05/picture13-1778407027.png)
Ta có hình biểu diễn như trên, với hai hình cầu màu vàng là hai viên pha lê, hai hình cầu màu tím là hai chụp đèn. Gọi\(S\)là tâm của\((S)\)và\(S'\)là tâm của\((S')\).Ta thấy giao tuyến của hình cầu \((S)\)và mặt phẳng \((P)\) là đường tròn \(({C_1})\) có tâm\(A(\frac{2}{3};\frac{1}{3}; - \frac{5}{3})\) và có bán kính \({r_1} = \sqrt {{{(\sqrt 3 )}^2} - d{{(S,(P))}^2}} = \sqrt {3 - 1} = \sqrt 2 \). Mặt khác, giao tuyến của hình cầu \((S')\)và mặt phẳng \((P)\) là đường tròn \(({C_2})\) có tâm\(B(\frac{7}{3}; - \frac{7}{3}; - \frac{4}{3})\)và có bán kính \({r_2} = \sqrt {{3^2} - d{{(S',(P))}^2}} = \sqrt {9 - 1} = 2\sqrt 2 \). Đường thẳng qua hai điểm \(A,B\)cắt hai đường tròn \(({C_1})\) và \(({C_2})\) tại hai điểm \(C,D\) như hình vẽ.
Vì hình cầu \(({T_1})\) phủ kín \(({C_1})\) nên \({I_1}A \bot (P)\).
Tương tự ta có \({I_2}B \bot (P)\). Khi đó, ta có \({I_1},{I_2},A,B,C,D\) đồng phẳng. Xét mặt phẳng chứa \({I_1},{I_2},A,B,C,D\), ta có hình vẽ sau:
![Vậy \[d\left( {A,\left( {BCC'B'} \right)} \right) \approx 3,8\]. (ảnh 2)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2026/05/picture14-1778407044.png)
Như vậy, theo tính chất hình học của tam giác vuông và hình thang vuông,
\[\begin{array}{l}{I_1}{I_2} \ge AB\\{R_1} = {I_1}C \ge AC\\{R_2} = {I_2}D \ge BD\end{array}\]
Vì vậy \[M \ge AB + AC + BD\] hay \[M \ge \sqrt {10} + \sqrt 2 + 2\sqrt 2 \]. Dấu xảy ra khi \[{I_1} \equiv A\] và \[{I_2} \equiv B\]. Vậy giá trị nhỏ nhất của \[M\]là \[\sqrt {10} + \sqrt 2 + 2\sqrt 2 \approx 7,4\] (mét).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Hot: 1000+ đề thi cuối kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay
Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn
Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.
- Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
- Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
- Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
- Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
- Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
- Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
- Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
- Đăng ký ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Chọn a) Sai | b) Đúng| c) Đúng | d) Đúng
a) Khoảng cách giữa hai khinh khí cấu là
\(AB = \sqrt {{{\left( {2 + 1} \right)}^2} + {{\left( {1,5 + 1} \right)}^2} + {{\left( {0,5 - 0,8} \right)}^2}} \approx 3,92\)km.
Chọn SAI.
b) Tại thời điểm \(t\) chiếc khinh khí cầu thứ nhất ở điểm \(M = A + vt\frac{{ - \overrightarrow i }}{{\left| {\overrightarrow i } \right|}} = \left( {2 - 60t;1,5;0,5} \right)\).
Chọn SAI.
c) Tại thời điểm \(t\) chiếc khinh khí cầu thứ hai ở điểm \(N = B + vt\frac{{\overrightarrow j }}{{\left| {\overrightarrow j } \right|}} = \left( { - 1; - 1 + 40t;0,8} \right)\).
Khoảng cách giữa hai khinh khí cầu tại thời điểm \(t\) là
\(MN = \sqrt {{{\left( {3 - 60t} \right)}^2} + {{\left( {2,5 - 40t} \right)}^2} + 0,{3^2}} \)
Xét hàm số \(f\left( t \right) = {\left( {3 - 60t} \right)^2} + {\left( {2,5 - 40t} \right)^2} + 0,{3^2}\)=\(5200{t^2} - 560t + 15,34\)
Suy ra \(\min f\left( t \right) = f\left( {\frac{7}{{130}}} \right)\)
\(M{N_{\min }} = \sqrt {f\left( {\frac{7}{{130}}} \right)} \approx 0,51\).
Chọn ĐÚNG.
d) Gọi \(A'\) là điểm đối xứng với điểm \(A\) qua mặt phẳng \[\left( {Oxy} \right)\]\( \Rightarrow \)\(A'\left( {2;1,5; - 0,5} \right)\).
Ta có \(\overrightarrow {BA'} = \left( {3;2,5; - 1,3} \right)\)
Phương trình đường thẳng \(A'B:\)
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 + 3t{\rm{ }}}\\{y = 1,5 + 2,5t}\end{array}}\\{z = - 0,5 - 1,3t}\end{array}} \right.\).
Tọa độ điểm \(P\) là giao điểm của đường thẳng \(A'B\) với mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) là: \(P\left( {\frac{{11}}{{13}};\frac{7}{{13}};0} \right)\).
\( \Rightarrow a = \frac{{11}}{{13}},b = \frac{7}{{13}},c = 0\).
\( \Rightarrow 2a + b + c = \frac{{29}}{{13}}\).
Chọn ĐÚNG.
Câu 2
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Chọn A
Ta có \(\overrightarrow u .\overrightarrow v = \left| {\overrightarrow u } \right| \times \left| {\overrightarrow v } \right| \times cos\left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = 5.8.\cos {120^0} = 5.8.\left( { - \frac{1}{2}} \right) = - 20\).
Câu 3
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập