Cho khối hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) có đáy là hình vuông cạnh \(2\), \(AC'\) tạo với mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) một góc \({60^ \circ }\). Tính thể tích khối hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\). 

                                                         

Chọn C

Ta có \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\cos x{\rm{d}}x}  = \left. {\sin x} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} = \sin \frac{\pi }{2} - \sin 0 = 1\).

Xoay chiếc đôn theo chiều nằm ngang và chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ dưới đây

Khi đó chiếc đôn là khối tròn xoay được sinh ra khi xoay hình phẳng giới hạn bởi parabol \(\left( P \right)\)  và các đường thẳng \[x =  - 25,\,\,x = 25\] xung quanh trục \(Ox\).

Gọi \(\left( P \right):y = a{x^2} + bx + c\). Dựa vào yêu cầu thiết kế, ta có \(\left( P \right)\) đi qua các điểm \(A\left( {25;20} \right)\), \(B\left( { - 25;20} \right)\) và có đỉnh là \[I\left( {0;15} \right)\].

Do đó, ta có hệ phương trình \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{625a + 25b + c = 20}\\{625a - 25b + c = 20}\\{c = 15\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = \frac{1}{{125}}}\\{b = 0}\\{c = 15}\end{array}} \right.\].

Khi đó thể tích chiếc đôn là: \[V = \pi \int\limits_{ - 25}^{25} {{{\left( {\frac{1}{{125}}{x^2} + 15} \right)}^2}dx = 14000\pi \,\,\left( {c{m^3}} \right)} \]

Ta tính được khối lượng đồng cần dùng là: \[m = \frac{{14000\pi }}{{{{10}^6}}}.8960 = \frac{{3136\pi }}{{25}}\,\,\left( {kg} \right)\].

Vậy chi phí cần bỏ ra để làm một chiếc đôn là: \[\frac{{3136\pi }}{{25}}\,.0,22 + 10 \approx 96,7\] triệu đồng.