Cho hình lăng trụ tam giác đều \(ABC.A'B'C'\) có cạnh đáy bằng \(4\). Khoảng cách từ điểm \(A'\) đến mặt phẳng \(\left( {AB'C'} \right)\) bằng \(2\). Tính thể tích khối lăng trụ (không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng đơn vị).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án:
Đáp án: \[17\].
Tam giác \(ABC\) đều cạnh \(a = 4\), diện tích đáy là: \({S_{ABC}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{4^2}\sqrt 3 }}{4} = 4\sqrt 3 \).
Xác định khoảng cách từ \(A\) đến \(\left( {AB{\rm{'}}C{\rm{'}}} \right)\):
Gọi \(M\) là trung điểm của \(B{\rm{'}}C{\rm{'}}\). Vì \(\Delta A{\rm{'}}B{\rm{'}}C{\rm{'}}\) đều nên \(A{\rm{'}}M \bot B{\rm{'}}C{\rm{'}}\).
Lăng trụ đều nên \(AA{\rm{'}} \bot \left( {A{\rm{'}}B{\rm{'}}C{\rm{'}}} \right) \Rightarrow AA{\rm{'}} \bot B{\rm{'}}C{\rm{'}}\). Suy ra \(B{\rm{'}}C{\rm{'}} \bot \left( {AA{\rm{'}}M} \right)\).
Trong mặt phẳng \(\left( {AA{\rm{'}}M} \right)\), kẻ \(A{\rm{'}}H \bot AM\) tại \(H\).
Vì \(B{\rm{'}}C{\rm{'}} \bot \left( {AA{\rm{'}}M} \right)\) nên \(B{\rm{'}}C{\rm{'}} \bot A{\rm{'}}H\).
Do \(A{\rm{'}}H \bot AM\) và \(AH \bot B{\rm{'}}C{\rm{'}}\) nên \(AH \bot \left( {AB{\rm{'}}C{\rm{'}}} \right)\).
Vậy \[d\left( {A{\rm{'}},\left( {AB{\rm{'}}C{\rm{'}}} \right)} \right) = AH = 2\].
Tính chiều cao lăng trụ \(\left( {h = AA{\rm{'}}} \right)\):
Xét tam giác \(A{\rm{'}}B{\rm{'}}C{\rm{'}}\) đều cạnh \(6\), trung tuyến \(A{\rm{'}}M = \frac{{4\sqrt 3 }}{2} = 2\sqrt 3 \).
Xét tam giác \(AA{\rm{'}}M\) vuông tại \(A{\rm{'}}\), có đường cao \(AH = 2\).
Áp dụng hệ thức lượng: \(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{AA{{\rm{'}}^2}}} + \frac{1}{{A{\rm{'}}{M^2}}} \Rightarrow \frac{1}{{{2^2}}} = \frac{1}{{{h^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {2\sqrt 3 } \right)}^2}}}\)\( \Rightarrow {h^2} = 6 \Rightarrow h = \sqrt 6 \).
Tính thể tích: \(V = {S_{ABC}} \cdot h = 4\sqrt 3 \cdot \sqrt 6 = 12\sqrt 2 \). Giá trị xấp xỉ: \(V \approx 17.\)
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
Lời giải
Chọn C
Ta có \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\cos x{\rm{d}}x} = \left. {\sin x} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} = \sin \frac{\pi }{2} - \sin 0 = 1\).
Lời giải
Xoay chiếc đôn theo chiều nằm ngang và chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ dưới đây
Khi đó chiếc đôn là khối tròn xoay được sinh ra khi xoay hình phẳng giới hạn bởi parabol \(\left( P \right)\) và các đường thẳng \[x = - 25,\,\,x = 25\] xung quanh trục \(Ox\).
Gọi \(\left( P \right):y = a{x^2} + bx + c\). Dựa vào yêu cầu thiết kế, ta có \(\left( P \right)\) đi qua các điểm \(A\left( {25;20} \right)\), \(B\left( { - 25;20} \right)\) và có đỉnh là \[I\left( {0;15} \right)\].
Do đó, ta có hệ phương trình \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{625a + 25b + c = 20}\\{625a - 25b + c = 20}\\{c = 15\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = \frac{1}{{125}}}\\{b = 0}\\{c = 15}\end{array}} \right.\].
Khi đó thể tích chiếc đôn là: \[V = \pi \int\limits_{ - 25}^{25} {{{\left( {\frac{1}{{125}}{x^2} + 15} \right)}^2}dx = 14000\pi \,\,\left( {c{m^3}} \right)} \]
Ta tính được khối lượng đồng cần dùng là: \[m = \frac{{14000\pi }}{{{{10}^6}}}.8960 = \frac{{3136\pi }}{{25}}\,\,\left( {kg} \right)\].
Vậy chi phí cần bỏ ra để làm một chiếc đôn là: \[\frac{{3136\pi }}{{25}}\,.0,22 + 10 \approx 96,7\] triệu đồng.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập