Cho hình lăng trụ tam giác đều \(ABC.A'B'C'\) có cạnh đáy bằng \(4\). Khoảng cách từ điểm \(A'\) đến mặt phẳng \(\left( {AB'C'} \right)\) bằng \(2\)_. Tính thể tích khối lăng trụ (không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng đơn vị).

Đáp án: \[17\].    

Tam giác \(ABC\) đều cạnh \(a = 4\), diện tích đáy là: \({S_{ABC}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{4^2}\sqrt 3 }}{4} = 4\sqrt 3 \).

Xác định khoảng cách từ \(A\) đến \(\left( {AB{\rm{'}}C{\rm{'}}} \right)\):

Gọi \(M\) là trung điểm của \(B{\rm{'}}C{\rm{'}}\). Vì \(\Delta A{\rm{'}}B{\rm{'}}C{\rm{'}}\) đều nên \(A{\rm{'}}M \bot B{\rm{'}}C{\rm{'}}\).

Lăng trụ đều nên \(AA{\rm{'}} \bot \left( {A{\rm{'}}B{\rm{'}}C{\rm{'}}} \right) \Rightarrow AA{\rm{'}} \bot B{\rm{'}}C{\rm{'}}\). Suy ra \(B{\rm{'}}C{\rm{'}} \bot \left( {AA{\rm{'}}M} \right)\).

Trong mặt phẳng \(\left( {AA{\rm{'}}M} \right)\), kẻ \(A{\rm{'}}H \bot AM\) tại \(H\).

Vì \(B{\rm{'}}C{\rm{'}} \bot \left( {AA{\rm{'}}M} \right)\) nên \(B{\rm{'}}C{\rm{'}} \bot A{\rm{'}}H\).

Do \(A{\rm{'}}H \bot AM\) và \(AH \bot B{\rm{'}}C{\rm{'}}\) nên \(AH \bot \left( {AB{\rm{'}}C{\rm{'}}} \right)\).

Vậy \[d\left( {A{\rm{'}},\left( {AB{\rm{'}}C{\rm{'}}} \right)} \right) = AH = 2\].

Tính chiều cao lăng trụ \(\left( {h = AA{\rm{'}}} \right)\):

Xét tam giác \(A{\rm{'}}B{\rm{'}}C{\rm{'}}\) đều cạnh \(6\), trung tuyến \(A{\rm{'}}M = \frac{{4\sqrt 3 }}{2} = 2\sqrt 3 \).

Xét tam giác \(AA{\rm{'}}M\) vuông tại \(A{\rm{'}}\), có đường cao \(AH = 2\).

Áp dụng hệ thức lượng: \(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{AA{{\rm{'}}^2}}} + \frac{1}{{A{\rm{'}}{M^2}}} \Rightarrow \frac{1}{{{2^2}}} = \frac{1}{{{h^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {2\sqrt 3 } \right)}^2}}}\)\( \Rightarrow {h^2} = 6 \Rightarrow h = \sqrt 6 \).

Tính thể tích: \(V = {S_{ABC}} \cdot h = 4\sqrt 3  \cdot \sqrt 6  = 12\sqrt 2 \).   Giá trị xấp xỉ: \(V \approx 17.\)