Ông Hoàng có 3 tỷ đồng dự định đầu tư trong 15 năm để tạo quỹ hưu trí. Ông cân nhắc chọn một trong hai phương án sau:

Phương án 1: Gửi tiết kiệm toàn bộ số tiền một lần vào ngân hàng với lãi suất 8%/năm, lãi kép kỳ hạn một năm và không rút vốn trong suốt thời gian đầu tư.

Phương án 2: Gửi tiền vào ngân hàng với lãi suất 5,8%/năm, lãi kép kỳ hạn một năm. Vào cuối mỗi năm, ông rút một số tiền cố định là X đồng để đầu tư vào một chứng chỉ quỹ cổ phiếu có mức sinh lời cố định 15%/năm (mức sinh lời này được áp dụng tính toán tương tự như lãi suất ngân hàng theo thể thức lãi kép). Biết X được tính toán sao cho tài khoản tiền gửi ngân hàng vừa hết ngay sau lần rút cuối cùng.

Giả sử lãi suất và mức sinh lời không đổi, sau 15 năm, tổng số tiền thu được từ Phương án 2 nhiều hơn Phương án 1 bao nhiêu triệu đồng (không làm tròn kết quả ở các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng đơn vị)?

Đáp án: 4989.

Theo Phương án 1, số tiền thu được là \({A_1} = 3{\left( {1 + 8\% } \right)^{15}}\)

Theo Phương án 2, đặt \(r = 5,8\% \) và \({T_0} = 3\). Gọi \({T_n}\) (tỉ đồng, \(n \ge 1\)) là số tiền còn lại (sau khi rút X đồng) sau \(n\) năm. Khi đó

\[\begin{array}{l}{T_1} = {T_0}\left( {1 + r} \right) - X\\{T_2} = {T_1}\left( {1 + r} \right) - X = {T_0}{\left( {1 + r} \right)^2} - X\left( {1 + r} \right) - X\\{T_3} = {T_2}\left( {1 + r} \right) - X = {T_0}{\left( {1 + r} \right)^3} - X{\left( {1 + r} \right)^2} - X\left( {1 + r} \right) - X\\...\\{T_{15}} = {T_0}{\left( {1 + r} \right)^{15}} - X{\left( {1 + r} \right)^{14}} - ... - X\left( {1 + r} \right) - X = {T_0}{\left( {1 + r} \right)^{15}} - X\frac{{{{\left( {1 + r} \right)}^{15}} - 1}}{{\left( {1 + r} \right) - 1}}\end{array}\]

Theo giả thiết, \[{T_{15}} = 0 \Leftrightarrow 3{\left( {1 + 5,8\% } \right)^{15}} - X\frac{{{{\left( {1 + 5,8\% } \right)}^{15}} - 1}}{{5,8\% }} = 0 \Leftrightarrow X = 0,30486449.\]

Gọi \({P_n}\) (tỉ đồng, \(n \ge 1\)) là số tiền thu được ở từng năm khi sử dụng X (tỉ đồng) đầu tư vào cổ phiếu. Khi đó

\(\begin{array}{l}{P_1} = X{\left( {1 + 15\% } \right)^{14}}\\{P_2} = X{\left( {1 + 15\% } \right)^{13}}\\...\\{P_{14}} = X\left( {1 + 15\% } \right)\\{P_{15}} = X\end{array}\)

Tổng số tiền thu được ở Phương án 2 là

\[{A_2} = X\left[ {{{\left( {1 + 15\% } \right)}^{14}} + {{\left( {1 + 15\% } \right)}^{13}} + ... + \left( {1 + 15\% } \right) + 1} \right] = X\frac{{{{\left( {1 + 15\% } \right)}^{15}} - 1}}{{15\% }}\]

Vậy tổng số tiền thu được từ Phương án 2 nhiều hơn Phương án 1 \(\Delta  = {A_2} - {A_1} \approx 4,989\) (tỉ đồng) hay 4989 triệu đồng.