Bay Flycam trái phép là hành vi tiềm ẩn nguy cơ uy hiếp trực tiếp an toàn hàng không, lĩnh vực liên quan đến tính mạng của hàng trăm hành khách trên mỗi chuyến bay. Một cảng hàng không quốc tế thiết lập hệ thống radar giám sát được đặt tại gốc tọa độ \(O(0;0;0)\) trong không gian Oxyz (đơn vị là 1 km, mặt phẳng Oxy là mặt đất).Tại thời điểm t = 0, radar quét được tín hiệu một flycam xâm nhập tại điểm \(A(4;2;2)\) và đang bay theo đường thẳng với vectơ vận tốc \({\vec v_1}( - 1;0;0)\) (đơn vị: km/phút). Cùng lúc đó, một máy bay chở khách A321 đang chờ lệnh cất cánh tại điểm \(B(0; - 2;0)\). Nếu được cấp phép, quỹ đạo cất cánh dự kiến của máy bay là một đường thẳng với vectơ vận tốc \({\vec v_2}(0;4;3)\) (đơn vị: km/phút). Kiểm soát viên không lưu không được phép cấp lệnh cất cánh cho máy bay thương mại nếu hệ thống dự báo có bất kì thời điểm nào khoảng cách giữa máy bay và vật thể lạ nhỏ hơn 5 km.

Đáp án: 26,1.

Từ hình vẽ ta thấy hình chữ nhật \(OABC\) có hai kích thước là\(7\,{\rm{m}},\,\,5\,{\rm{m}}\).

\( \Rightarrow {S_{OABC}} = 7.5 = 35\,{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\).

Phương trình parabol: \(y = a{x^2} + bc + c\,\left( {a \ne 0} \right)\).

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{y\left( 0 \right) = 5}\\{y\left( 5 \right) = 0}\end{array}}\\{ - \frac{b}{{2a}} = 5}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{c = 5\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{25a + 5b + c = 0}\end{array}}\\{b =  - 10a\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{a = \frac{1}{5}}\\{b =  - 2}\end{array}}\\{c = 5}\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow y = \frac{1}{5}{x^2} - 2x + 5\).

Diện tích của phần parabol với trục hoành bằng: \(S = \int\limits_0^7 {f\left( x \right)} \,{\rm{d}}x = \int\limits_{}^{} {\left( {\frac{1}{5}{x^2} - 2x + 5} \right) = \frac{{133}}{{15}}} \,{m^2}\).

Diện tích phần tô màu là \(35 - \frac{{155}}{{15}} = \frac{{392}}{{15}} \approx 26,1\,\,\left( {{m^2}} \right)\) .

Đáp án: 2

Chọn hệ trục tọa độ \(Oxyz\) sao cho \(C \equiv O\left( {0;0;0} \right)\), \(CA\) nằm trên trục \(Ox\), \(CB\) nằm trên trục \(Oy\) và \(CC'\) nằm trên trục \(Oz\). Khi đó: \(C\left( {0;0;0} \right)\), \(A\left( {4;0;0} \right)\), \(B\left( {0;4;0} \right)\), \(C'\left( {0;0;4\sqrt 2 } \right)\), \(A'\left( {4;0;4\sqrt 2 } \right)\). \(M\) là trung điểm \(AA'\) nên \(M\left( {4;0;2\sqrt 2 } \right)\).

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 4;4;0} \right)\), chọn véctơ chỉ phương của \(AB\) là \(\overrightarrow {{u_1}}  = \left( { - 1;1;0} \right)\).

\(\overrightarrow {C'M}  = \left( {4;0; - 2\sqrt 2 } \right)\), chọn véctơ chỉ phương của \(C'M\) là \(\overrightarrow {{u_2}}  = \left( {2;0; - \sqrt 2 } \right)\).

\(\overrightarrow {AC'}  = \left( { - 4;0;4\sqrt 2 } \right)\).

Tích có hướng của hai véctơ chỉ phương:

\(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&0\\0&{ - \sqrt 2 }\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&{ - 1}\\{ - \sqrt 2 }&2\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&1\\2&0\end{array}} \right|} \right) = \left( { - \sqrt 2 ; - \sqrt 2 ; - 2} \right)\)

Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(C'M\) là:

\({\rm{d}}\left( {AB,C'M} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] \cdot \overrightarrow {AC'} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right]} \right|}} = \frac{{\left| {\left( { - \sqrt 2 } \right) \cdot \left( { - 4} \right) + \left( { - \sqrt 2 } \right) \cdot 0 + \left( { - 2} \right) \cdot 4\sqrt 2 } \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - \sqrt 2 } \right)}^2} + {{\left( { - \sqrt 2 } \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }}\)\( = \frac{{\left| {4\sqrt 2  - 8\sqrt 2 } \right|}}{{\sqrt {2 + 2 + 4} }} = 2\).

 Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng \(C'M\) và \(AB\) bằng \(2\).