Trong một xưởng in, người ta sản xuất hai loại poster quảng bá sự kiện. Loại I sử dụng \(2\) tờ giấy khổ lớn và \(1\) đơn vị mực màu, thu được \(35\) nghìn đồng. Loại II sử dụng \(3\) tờ giấy khổ lớn và \(2\) đơn vị mực màu, thu được \(60\) nghìn đồng. Biết rằng xưởng chỉ có tối đa \(210\) tờ giấy khổ lớn và \(130\) đơn vị mực màu và mỗi poster phải được in trọn vẹn. Hỏi số tiền lớn nhất mà xưởng có thể thu được là bao nhiêu (nghìn đồng)?

Đáp án: 26,1.

Từ hình vẽ ta thấy hình chữ nhật \(OABC\) có hai kích thước là\(7\,{\rm{m}},\,\,5\,{\rm{m}}\).

\( \Rightarrow {S_{OABC}} = 7.5 = 35\,{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\).

Phương trình parabol: \(y = a{x^2} + bc + c\,\left( {a \ne 0} \right)\).

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{y\left( 0 \right) = 5}\\{y\left( 5 \right) = 0}\end{array}}\\{ - \frac{b}{{2a}} = 5}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{c = 5\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{25a + 5b + c = 0}\end{array}}\\{b =  - 10a\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{a = \frac{1}{5}}\\{b =  - 2}\end{array}}\\{c = 5}\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow y = \frac{1}{5}{x^2} - 2x + 5\).

Diện tích của phần parabol với trục hoành bằng: \(S = \int\limits_0^7 {f\left( x \right)} \,{\rm{d}}x = \int\limits_{}^{} {\left( {\frac{1}{5}{x^2} - 2x + 5} \right) = \frac{{133}}{{15}}} \,{m^2}\).

Diện tích phần tô màu là \(35 - \frac{{155}}{{15}} = \frac{{392}}{{15}} \approx 26,1\,\,\left( {{m^2}} \right)\) .

a) Đúng

Tại thời điểm \(t = 0\), Flycam ở vị trí \(A(4;2;2)\) và máy bay ở vị trí \(B(0; - 2;0)\).

Khoảng cách AB được tính theo công thức:

\(AB = \sqrt {{{(0 - 4)}^2} + {{( - 2 - 2)}^2} + {{(0 - 2)}^2}}  = \sqrt {{{( - 4)}^2} + {{( - 4)}^2} + {{( - 2)}^2}} \)

\(AB = \sqrt {16 + 16 + 4}  = \sqrt {36}  = 6{\rm{ (km)}}\)

b) Đúng

Máy bay bắt đầu từ điểm \(B(0; - 2;0)\) và có vectơ vận tốc \({\vec v_2}(0;4;3)\).

Phương trình tham số của đường thẳng đi qua \(B\) và có vectơ chỉ phương \({\vec v_2}\) là:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0 + 0t}\\{y =  - 2 + 4t}\\{z = 0 + 3t}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{y =  - 2 + 4t}\\{z = 3t}\end{array}} \right.\)

c) Sai

  Tốc độ máy bay (\({v_2}\)): Là độ dài vectơ vận tốc \({\vec v_2}(0;4;3)\).

\({v_2} = \sqrt {{0^2} + {4^2} + {3^2}}  = \sqrt {25}  = 5\) (km/phút).

Đổi sang km/h: \(5 \times 60 = 300\) (km/h).

  Tốc độ Flycam (\({v_1}\)): Là độ dài vectơ vận tốc \({\vec v_1}( - 1;0;0)\).

\({v_1} = \sqrt {{{( - 1)}^2} + {0^2} + {0^2}}  = 1\) (km/phút).

Đổi sang km/h: \(1 \times 60 = 60\) (km/h). (Câu c ghi 1 km/h là Sai).

d) Đúng

  Vị trí Flycam tại thời điểm \(t\): \({M_1}(4 - t;2;2)\)

  Vị trí máy bay tại thời điểm \(t\): \({M_2}(0; - 2 + 4t;3t)\)

Bình phương khoảng cách giữa hai vật thể là:

\({d^2} = {(0 - (4 - t))^2} + {( - 2 + 4t - 2)^2} + {(3t - 2)^2}\)

\({d^2} = {(t - 4)^2} + {(4t - 4)^2} + {(3t - 2)^2}\)

\({d^2} = ({t^2} - 8t + 16) + (16{t^2} - 32t + 16) + (9{t^2} - 12t + 4)\)

\({d^2} = 26{t^2} - 52t + 36\)

Khoảng cách \(d\) nhỏ nhất khi \({d^2}\) nhỏ nhất và đạt được tại đỉnh của parabol có phương trình \(f(t) = 26{t^2} - 52t + 36\).

Khi đó \(t =  - \frac{b}{{2a}} =  - \frac{{ - 52}}{{2 \times 26}} = 1{\rm{ (ph\'u t)}}\).