PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Một bảng quảng cáo được minh họa bằng phần được tô màu như hình bên, đơn vị trên các trục đo bằng mét. Biết đường cong là một parabol có đỉnh \(I\left( {5;\,0} \right)\) vào \(OABC\) là hình chữ nhật. Tính diện tích của bảng quảng cáo theo mét vuông ( kết quả làm tròn đến hàng phần chục của mét vuông)

                               

a) Đúng

Tại thời điểm \(t = 0\), Flycam ở vị trí \(A(4;2;2)\) và máy bay ở vị trí \(B(0; - 2;0)\).

Khoảng cách AB được tính theo công thức:

\(AB = \sqrt {{{(0 - 4)}^2} + {{( - 2 - 2)}^2} + {{(0 - 2)}^2}}  = \sqrt {{{( - 4)}^2} + {{( - 4)}^2} + {{( - 2)}^2}} \)

\(AB = \sqrt {16 + 16 + 4}  = \sqrt {36}  = 6{\rm{ (km)}}\)

b) Đúng

Máy bay bắt đầu từ điểm \(B(0; - 2;0)\) và có vectơ vận tốc \({\vec v_2}(0;4;3)\).

Phương trình tham số của đường thẳng đi qua \(B\) và có vectơ chỉ phương \({\vec v_2}\) là:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0 + 0t}\\{y =  - 2 + 4t}\\{z = 0 + 3t}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{y =  - 2 + 4t}\\{z = 3t}\end{array}} \right.\)

c) Sai

  Tốc độ máy bay (\({v_2}\)): Là độ dài vectơ vận tốc \({\vec v_2}(0;4;3)\).

\({v_2} = \sqrt {{0^2} + {4^2} + {3^2}}  = \sqrt {25}  = 5\) (km/phút).

Đổi sang km/h: \(5 \times 60 = 300\) (km/h).

  Tốc độ Flycam (\({v_1}\)): Là độ dài vectơ vận tốc \({\vec v_1}( - 1;0;0)\).

\({v_1} = \sqrt {{{( - 1)}^2} + {0^2} + {0^2}}  = 1\) (km/phút).

Đổi sang km/h: \(1 \times 60 = 60\) (km/h). (Câu c ghi 1 km/h là Sai).

d) Đúng

  Vị trí Flycam tại thời điểm \(t\): \({M_1}(4 - t;2;2)\)

  Vị trí máy bay tại thời điểm \(t\): \({M_2}(0; - 2 + 4t;3t)\)

Bình phương khoảng cách giữa hai vật thể là:

\({d^2} = {(0 - (4 - t))^2} + {( - 2 + 4t - 2)^2} + {(3t - 2)^2}\)

\({d^2} = {(t - 4)^2} + {(4t - 4)^2} + {(3t - 2)^2}\)

\({d^2} = ({t^2} - 8t + 16) + (16{t^2} - 32t + 16) + (9{t^2} - 12t + 4)\)

\({d^2} = 26{t^2} - 52t + 36\)

Khoảng cách \(d\) nhỏ nhất khi \({d^2}\) nhỏ nhất và đạt được tại đỉnh của parabol có phương trình \(f(t) = 26{t^2} - 52t + 36\).

Khi đó \(t =  - \frac{b}{{2a}} =  - \frac{{ - 52}}{{2 \times 26}} = 1{\rm{ (ph\'u t)}}\).

Đáp án: 2

Chọn hệ trục tọa độ \(Oxyz\) sao cho \(C \equiv O\left( {0;0;0} \right)\), \(CA\) nằm trên trục \(Ox\), \(CB\) nằm trên trục \(Oy\) và \(CC'\) nằm trên trục \(Oz\). Khi đó: \(C\left( {0;0;0} \right)\), \(A\left( {4;0;0} \right)\), \(B\left( {0;4;0} \right)\), \(C'\left( {0;0;4\sqrt 2 } \right)\), \(A'\left( {4;0;4\sqrt 2 } \right)\). \(M\) là trung điểm \(AA'\) nên \(M\left( {4;0;2\sqrt 2 } \right)\).

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 4;4;0} \right)\), chọn véctơ chỉ phương của \(AB\) là \(\overrightarrow {{u_1}}  = \left( { - 1;1;0} \right)\).

\(\overrightarrow {C'M}  = \left( {4;0; - 2\sqrt 2 } \right)\), chọn véctơ chỉ phương của \(C'M\) là \(\overrightarrow {{u_2}}  = \left( {2;0; - \sqrt 2 } \right)\).

\(\overrightarrow {AC'}  = \left( { - 4;0;4\sqrt 2 } \right)\).

Tích có hướng của hai véctơ chỉ phương:

\(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&0\\0&{ - \sqrt 2 }\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&{ - 1}\\{ - \sqrt 2 }&2\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&1\\2&0\end{array}} \right|} \right) = \left( { - \sqrt 2 ; - \sqrt 2 ; - 2} \right)\)

Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(C'M\) là:

\({\rm{d}}\left( {AB,C'M} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] \cdot \overrightarrow {AC'} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right]} \right|}} = \frac{{\left| {\left( { - \sqrt 2 } \right) \cdot \left( { - 4} \right) + \left( { - \sqrt 2 } \right) \cdot 0 + \left( { - 2} \right) \cdot 4\sqrt 2 } \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - \sqrt 2 } \right)}^2} + {{\left( { - \sqrt 2 } \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }}\)\( = \frac{{\left| {4\sqrt 2  - 8\sqrt 2 } \right|}}{{\sqrt {2 + 2 + 4} }} = 2\).

 Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng \(C'M\) và \(AB\) bằng \(2\).