Cho khối lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có độ dài cạnh bên bằng \(4\sqrt 2 \) và đáy là tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(C\), có \(AC = 4\). Gọi \(M\) là trung điểm của cạnh \(AA'\), tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(C'M\) và \(AB\) (không làm tròn ở các bước trung gian).

a) Đúng

Tại thời điểm \(t = 0\), Flycam ở vị trí \(A(4;2;2)\) và máy bay ở vị trí \(B(0; - 2;0)\).

Khoảng cách AB được tính theo công thức:

\(AB = \sqrt {{{(0 - 4)}^2} + {{( - 2 - 2)}^2} + {{(0 - 2)}^2}}  = \sqrt {{{( - 4)}^2} + {{( - 4)}^2} + {{( - 2)}^2}} \)

\(AB = \sqrt {16 + 16 + 4}  = \sqrt {36}  = 6{\rm{ (km)}}\)

b) Đúng

Máy bay bắt đầu từ điểm \(B(0; - 2;0)\) và có vectơ vận tốc \({\vec v_2}(0;4;3)\).

Phương trình tham số của đường thẳng đi qua \(B\) và có vectơ chỉ phương \({\vec v_2}\) là:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0 + 0t}\\{y =  - 2 + 4t}\\{z = 0 + 3t}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{y =  - 2 + 4t}\\{z = 3t}\end{array}} \right.\)

c) Sai

  Tốc độ máy bay (\({v_2}\)): Là độ dài vectơ vận tốc \({\vec v_2}(0;4;3)\).

\({v_2} = \sqrt {{0^2} + {4^2} + {3^2}}  = \sqrt {25}  = 5\) (km/phút).

Đổi sang km/h: \(5 \times 60 = 300\) (km/h).

  Tốc độ Flycam (\({v_1}\)): Là độ dài vectơ vận tốc \({\vec v_1}( - 1;0;0)\).

\({v_1} = \sqrt {{{( - 1)}^2} + {0^2} + {0^2}}  = 1\) (km/phút).

Đổi sang km/h: \(1 \times 60 = 60\) (km/h). (Câu c ghi 1 km/h là Sai).

d) Đúng

  Vị trí Flycam tại thời điểm \(t\): \({M_1}(4 - t;2;2)\)

  Vị trí máy bay tại thời điểm \(t\): \({M_2}(0; - 2 + 4t;3t)\)

Bình phương khoảng cách giữa hai vật thể là:

\({d^2} = {(0 - (4 - t))^2} + {( - 2 + 4t - 2)^2} + {(3t - 2)^2}\)

\({d^2} = {(t - 4)^2} + {(4t - 4)^2} + {(3t - 2)^2}\)

\({d^2} = ({t^2} - 8t + 16) + (16{t^2} - 32t + 16) + (9{t^2} - 12t + 4)\)

\({d^2} = 26{t^2} - 52t + 36\)

Khoảng cách \(d\) nhỏ nhất khi \({d^2}\) nhỏ nhất và đạt được tại đỉnh của parabol có phương trình \(f(t) = 26{t^2} - 52t + 36\).

Khi đó \(t =  - \frac{b}{{2a}} =  - \frac{{ - 52}}{{2 \times 26}} = 1{\rm{ (ph\'u t)}}\).

Đáp số: 0,03.

Để Đội hạt giống số 3 giành chức vô địch, đội này phải thắng cả 3 trận (Tứ kết, Bán kết, Chung kết). Vì Đội 3 sẽ thua Đội 1 và Đội 2, điều kiện bắt buộc là Đội 1 và Đội 2 phải bị loại trước khi gặp Đội 3.

Chúng ta sẽ phân tích đường đi của hai đội mạnh nhất này:

1. Điều kiện để Đội 1 bị loại

Đội 1 mạnh nhất giải và chỉ có một điểm yếu duy nhất: thua Đội 8. Do đó, Đội 1 bắt buộc phải gặp Đội 8 để bị loại.

Nếu Đội 8 gặp bất kỳ đội nào khác ngoài Đội 1 ở Tứ kết, Đội 8 sẽ ngay lập tức bị loại (vì 8 yếu hơn tất cả các đội từ 2 đến 7). Khi đó, không còn đội nào có thể cản bước Đội 1 vô địch.

\( \Rightarrow \)Bắt buộc: Việc bốc thăm Tứ kết phải tạo ra cặp đấu {Đội 1, Đội 8}. (Kết quả: Đội 8 đi tiếp).

2. Điều kiện để Đội 2 bị loại

Đội 2 chỉ thua Đội 1 và Đội 7. Vì Đội 1 đã bị Đội 8 loại ở nhánh trên, Đội 2 bắt buộc phải gặp Đội 7 để bị loại.

Tương tự như Đội 8, Đội 7 rất yếu. Nếu Đội 7 bốc thăm trúng các đội 3, 4, 5, 6 ở Tứ kết, Đội 7 sẽ thua và bị loại. Đội 7 không thể ghép với Đội 8 vì Đội 8 đã bận đấu với Đội 1.

 \( \Rightarrow \) Bắt buộc: Việc bốc thăm Tứ kết phải tạo ra cặp đấu {Đội 2, Đội 7}. (Kết quả: Đội 7 đi tiếp).

3. Kiểm tra đường đi của Đội 3

Nếu Tứ kết đã có 2 cặp {1, 8} và {2, 7}, 4 đội còn lại là {3, 4, 5, 6} sẽ đấu với nhau.

Ở Tứ kết, Đội 3 gặp 4, 5 hoặc 6 nên chắc chắn thắng.

Bốn đội lọt vào Bán kết lúc này sẽ gồm: Đội 8, Đội 7, Đội 3 và một đội \(X\) (với \(X \in \{ 4,5,6\} \)).

Lúc này, Đội 3 là đội có số hạt giống nhỏ nhất (mạnh nhất) trong 4 đội còn lại. Dù gặp ai ở Bán kết hay Chung kết, Đội 3 cũng chắc chắn giành chiến thắng.

4. Tính xác suất

Tính xác suất để lần bốc thăm ngẫu nhiên ở Tứ kết xuất hiện đồng thời hai cặp đấu {1, 8} và {2, 7}.

Bước 1: Chọn đối thủ cho Đội 1 từ 7 đội còn lại. Xác suất để chọn đúng Đội 8 là \(\frac{1}{7}\).

Bước 2: Sau khi Đội 1 và Đội 8 đã ghép cặp, còn lại 6 đội. Chọn đối thủ cho Đội 2 từ 5 đội còn lại. Xác suất để chọn đúng Đội 7 là \(\frac{1}{5}\).

Vì các bước bốc thăm diễn ra độc lập, xác suất chung để kịch bản này xảy ra là:

\( = \frac{1}{7} \times \frac{1}{5} = \frac{1}{{35}} \approx 0,03.\)