Cho hai hàm số \(f\left( x \right) = {2^{{x^2}}}\) và \(g\left( x \right) = \sqrt {{{\log }_2}x} \). Giả sử \(S = \int_1^{20} f \left( x \right){\rm{d}}x + \int_2^{{2^{400}}} g \left( x \right){\rm{d}}x\) được viết dưới dạng \(S = a \cdot {2^b} - c\), với \(b\) là số nguyên và \(a\), \(c\) là các số nguyên tố. Tính \(a + b + c\).

Đáp án: 26,1.

Từ hình vẽ ta thấy hình chữ nhật \(OABC\) có hai kích thước là\(7\,{\rm{m}},\,\,5\,{\rm{m}}\).

\( \Rightarrow {S_{OABC}} = 7.5 = 35\,{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\).

Phương trình parabol: \(y = a{x^2} + bc + c\,\left( {a \ne 0} \right)\).

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{y\left( 0 \right) = 5}\\{y\left( 5 \right) = 0}\end{array}}\\{ - \frac{b}{{2a}} = 5}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{c = 5\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{25a + 5b + c = 0}\end{array}}\\{b =  - 10a\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{a = \frac{1}{5}}\\{b =  - 2}\end{array}}\\{c = 5}\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow y = \frac{1}{5}{x^2} - 2x + 5\).

Diện tích của phần parabol với trục hoành bằng: \(S = \int\limits_0^7 {f\left( x \right)} \,{\rm{d}}x = \int\limits_{}^{} {\left( {\frac{1}{5}{x^2} - 2x + 5} \right) = \frac{{133}}{{15}}} \,{m^2}\).

Diện tích phần tô màu là \(35 - \frac{{155}}{{15}} = \frac{{392}}{{15}} \approx 26,1\,\,\left( {{m^2}} \right)\) .

a) Đúng

Tại thời điểm \(t = 0\), Flycam ở vị trí \(A(4;2;2)\) và máy bay ở vị trí \(B(0; - 2;0)\).

Khoảng cách AB được tính theo công thức:

\(AB = \sqrt {{{(0 - 4)}^2} + {{( - 2 - 2)}^2} + {{(0 - 2)}^2}}  = \sqrt {{{( - 4)}^2} + {{( - 4)}^2} + {{( - 2)}^2}} \)

\(AB = \sqrt {16 + 16 + 4}  = \sqrt {36}  = 6{\rm{ (km)}}\)

b) Đúng

Máy bay bắt đầu từ điểm \(B(0; - 2;0)\) và có vectơ vận tốc \({\vec v_2}(0;4;3)\).

Phương trình tham số của đường thẳng đi qua \(B\) và có vectơ chỉ phương \({\vec v_2}\) là:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0 + 0t}\\{y =  - 2 + 4t}\\{z = 0 + 3t}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{y =  - 2 + 4t}\\{z = 3t}\end{array}} \right.\)

c) Sai

  Tốc độ máy bay (\({v_2}\)): Là độ dài vectơ vận tốc \({\vec v_2}(0;4;3)\).

\({v_2} = \sqrt {{0^2} + {4^2} + {3^2}}  = \sqrt {25}  = 5\) (km/phút).

Đổi sang km/h: \(5 \times 60 = 300\) (km/h).

  Tốc độ Flycam (\({v_1}\)): Là độ dài vectơ vận tốc \({\vec v_1}( - 1;0;0)\).

\({v_1} = \sqrt {{{( - 1)}^2} + {0^2} + {0^2}}  = 1\) (km/phút).

Đổi sang km/h: \(1 \times 60 = 60\) (km/h). (Câu c ghi 1 km/h là Sai).

d) Đúng

  Vị trí Flycam tại thời điểm \(t\): \({M_1}(4 - t;2;2)\)

  Vị trí máy bay tại thời điểm \(t\): \({M_2}(0; - 2 + 4t;3t)\)

Bình phương khoảng cách giữa hai vật thể là:

\({d^2} = {(0 - (4 - t))^2} + {( - 2 + 4t - 2)^2} + {(3t - 2)^2}\)

\({d^2} = {(t - 4)^2} + {(4t - 4)^2} + {(3t - 2)^2}\)

\({d^2} = ({t^2} - 8t + 16) + (16{t^2} - 32t + 16) + (9{t^2} - 12t + 4)\)

\({d^2} = 26{t^2} - 52t + 36\)

Khoảng cách \(d\) nhỏ nhất khi \({d^2}\) nhỏ nhất và đạt được tại đỉnh của parabol có phương trình \(f(t) = 26{t^2} - 52t + 36\).

Khi đó \(t =  - \frac{b}{{2a}} =  - \frac{{ - 52}}{{2 \times 26}} = 1{\rm{ (ph\'u t)}}\).