Cho hai hàm số \(f\left( x \right) = {2^{{x^2}}}\) và \(g\left( x \right) = \sqrt {{{\log }_2}x} \). Giả sử \(S = \int_1^{20} f \left( x \right){\rm{d}}x + \int_2^{{2^{400}}} g \left( x \right){\rm{d}}x\) được viết dưới dạng \(S = a \cdot {2^b} - c\), với \(b\) là số nguyên và \(a\), \(c\) là các số nguyên tố. Tính \(a + b + c\).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án:
Đáp án: 409
Chứng minh bổ đề:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục và đơn điệu nghiêm ngặt (luôn đồng biến hoặc luôn nghịch biến) trên đoạn \([a,b]\). Khi đó, tồn tại hàm số ngược \(x = {f^{ - 1}}\left( x \right)\) xác định trên đoạn có hai đầu mút là \(f\left( a \right)\) và \(f\left( b \right)\). Ta luôn có đẳng thức sau:
\(\int_a^b f \left( x \right){\rm{d}}x + \int_{f\left( a \right)}^{f\left( b \right)} {{f^{ - 1}}} \left( x \right){\rm{d}}x = b \cdot f\left( b \right) - a \cdot f\left( a \right)\).
Chứng minh:
- Tích phân \(\int_a^b f \left( x \right){\rm{d}}x\) chính là diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị \(f\left( x \right)\), trục hoành \(Ox\), và hai đường thẳng \(x = a,x = b\).
- Bây giờ, hãy nhìn đồ thị \(y = f\left( x \right)\) từ góc độ của trục tung \(Oy\). Theo định nghĩa hàm ngược, diện tích nằm giữa đồ thị \(f\left( x \right)\), trục tung \(Oy\) và hai đường thẳng \(y = f\left( a \right),y = f\left( b \right)\) chính là tích phân \(\int_{f\left( a \right)}^{f\left( b \right)} {{f^{ - 1}}} \left( y \right){\rm{d}}y\).
· Hình chữ nhật lớn: Có các cạnh là \(b\) và \(f\left( b \right) \Rightarrow {S_L} = b \cdot f\left( b \right)\).
· Hình chữ nhật nhỏ: Có các cạnh là \(a\) và \(f\left( a \right) \Rightarrow {S_N} = a \cdot f\left( a \right)\).
Vì vậy, tổng hai tích phân chính bằng: \({S_L} - {S_N} = b \cdot f\left( b \right) - a \cdot f\left( a \right)\).
Hoàn tất chứng minh.
Trở lại bài toán:
Xét hàm số \(y = f\left( x \right) = {2^{{x^2}}}\) (với \(x \ge 1\)).
Ta có \({\log _2}y = {x^2} \Rightarrow x = \sqrt {{{\log }_2}y} \).
Do đó, hàm số \(g\left( x \right) = \sqrt {{{\log }_2}x} \) chính là hàm ngược của \(f\left( x \right)\), hay \(g\left( x \right) = {f^{ - 1}}\left( x \right)\).
Áp dụng công thức tích phân hàm ngược:
\[S = \int_1^{20} f \left( x \right){\rm{d}}x + \int_2^{{2^{400}}} g \left( x \right){\rm{d}}x = \int_1^{20} f \left( x \right){\rm{d}}x + \int_{f\left( 1 \right)}^{f\left( {20} \right)} g \left( x \right){\rm{d}}x\]
\[ = 20 \cdot f\left( {20} \right) - 1 \cdot f\left( 1 \right) = 20 \cdot {2^{400}} - 2 = \left( {5 \cdot 4} \right) \cdot {2^{400}} - 2 = 5 \cdot {2^{402}} - 2\]
Suy ra: \(a = 5\) (là số nguyên tố);
\(b = 402\) (là số nguyên);
\(c = 2\) (là số nguyên tố);
\(a + b + c = 5 + 402 + 2 = {\bf{409}}\).
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
Lời giải
a) Đúng
Tại thời điểm \(t = 0\), Flycam ở vị trí \(A(4;2;2)\) và máy bay ở vị trí \(B(0; - 2;0)\).
Khoảng cách AB được tính theo công thức:
\(AB = \sqrt {{{(0 - 4)}^2} + {{( - 2 - 2)}^2} + {{(0 - 2)}^2}} = \sqrt {{{( - 4)}^2} + {{( - 4)}^2} + {{( - 2)}^2}} \)
\(AB = \sqrt {16 + 16 + 4} = \sqrt {36} = 6{\rm{ (km)}}\)
b) Đúng
Máy bay bắt đầu từ điểm \(B(0; - 2;0)\) và có vectơ vận tốc \({\vec v_2}(0;4;3)\).
Phương trình tham số của đường thẳng đi qua \(B\) và có vectơ chỉ phương \({\vec v_2}\) là:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0 + 0t}\\{y = - 2 + 4t}\\{z = 0 + 3t}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{y = - 2 + 4t}\\{z = 3t}\end{array}} \right.\)
c) Sai
Tốc độ máy bay (\({v_2}\)): Là độ dài vectơ vận tốc \({\vec v_2}(0;4;3)\).
\({v_2} = \sqrt {{0^2} + {4^2} + {3^2}} = \sqrt {25} = 5\) (km/phút).
Đổi sang km/h: \(5 \times 60 = 300\) (km/h).
Tốc độ Flycam (\({v_1}\)): Là độ dài vectơ vận tốc \({\vec v_1}( - 1;0;0)\).
\({v_1} = \sqrt {{{( - 1)}^2} + {0^2} + {0^2}} = 1\) (km/phút).
Đổi sang km/h: \(1 \times 60 = 60\) (km/h). (Câu c ghi 1 km/h là Sai).
d) Đúng
Vị trí Flycam tại thời điểm \(t\): \({M_1}(4 - t;2;2)\)
Vị trí máy bay tại thời điểm \(t\): \({M_2}(0; - 2 + 4t;3t)\)
Bình phương khoảng cách giữa hai vật thể là:
\({d^2} = {(0 - (4 - t))^2} + {( - 2 + 4t - 2)^2} + {(3t - 2)^2}\)
\({d^2} = {(t - 4)^2} + {(4t - 4)^2} + {(3t - 2)^2}\)
\({d^2} = ({t^2} - 8t + 16) + (16{t^2} - 32t + 16) + (9{t^2} - 12t + 4)\)
\({d^2} = 26{t^2} - 52t + 36\)
Khoảng cách \(d\) nhỏ nhất khi \({d^2}\) nhỏ nhất và đạt được tại đỉnh của parabol có phương trình \(f(t) = 26{t^2} - 52t + 36\).
Khi đó \(t = - \frac{b}{{2a}} = - \frac{{ - 52}}{{2 \times 26}} = 1{\rm{ (ph\'u t)}}\).
Lời giải
Đáp án:
Đáp số: 0,03.
Để Đội hạt giống số 3 giành chức vô địch, đội này phải thắng cả 3 trận (Tứ kết, Bán kết, Chung kết). Vì Đội 3 sẽ thua Đội 1 và Đội 2, điều kiện bắt buộc là Đội 1 và Đội 2 phải bị loại trước khi gặp Đội 3.
Chúng ta sẽ phân tích đường đi của hai đội mạnh nhất này:
1. Điều kiện để Đội 1 bị loại
Đội 1 mạnh nhất giải và chỉ có một điểm yếu duy nhất: thua Đội 8. Do đó, Đội 1 bắt buộc phải gặp Đội 8 để bị loại.
Nếu Đội 8 gặp bất kỳ đội nào khác ngoài Đội 1 ở Tứ kết, Đội 8 sẽ ngay lập tức bị loại (vì 8 yếu hơn tất cả các đội từ 2 đến 7). Khi đó, không còn đội nào có thể cản bước Đội 1 vô địch.
\( \Rightarrow \)Bắt buộc: Việc bốc thăm Tứ kết phải tạo ra cặp đấu {Đội 1, Đội 8}. (Kết quả: Đội 8 đi tiếp).
2. Điều kiện để Đội 2 bị loại
Đội 2 chỉ thua Đội 1 và Đội 7. Vì Đội 1 đã bị Đội 8 loại ở nhánh trên, Đội 2 bắt buộc phải gặp Đội 7 để bị loại.
Tương tự như Đội 8, Đội 7 rất yếu. Nếu Đội 7 bốc thăm trúng các đội 3, 4, 5, 6 ở Tứ kết, Đội 7 sẽ thua và bị loại. Đội 7 không thể ghép với Đội 8 vì Đội 8 đã bận đấu với Đội 1.
\( \Rightarrow \) Bắt buộc: Việc bốc thăm Tứ kết phải tạo ra cặp đấu {Đội 2, Đội 7}. (Kết quả: Đội 7 đi tiếp).
3. Kiểm tra đường đi của Đội 3
Nếu Tứ kết đã có 2 cặp {1, 8} và {2, 7}, 4 đội còn lại là {3, 4, 5, 6} sẽ đấu với nhau.
Ở Tứ kết, Đội 3 gặp 4, 5 hoặc 6 nên chắc chắn thắng.
Bốn đội lọt vào Bán kết lúc này sẽ gồm: Đội 8, Đội 7, Đội 3 và một đội \(X\) (với \(X \in \{ 4,5,6\} \)).
Lúc này, Đội 3 là đội có số hạt giống nhỏ nhất (mạnh nhất) trong 4 đội còn lại. Dù gặp ai ở Bán kết hay Chung kết, Đội 3 cũng chắc chắn giành chiến thắng.
4. Tính xác suất
Tính xác suất để lần bốc thăm ngẫu nhiên ở Tứ kết xuất hiện đồng thời hai cặp đấu {1, 8} và {2, 7}.
Bước 1: Chọn đối thủ cho Đội 1 từ 7 đội còn lại. Xác suất để chọn đúng Đội 8 là \(\frac{1}{7}\).
Bước 2: Sau khi Đội 1 và Đội 8 đã ghép cặp, còn lại 6 đội. Chọn đối thủ cho Đội 2 từ 5 đội còn lại. Xác suất để chọn đúng Đội 7 là \(\frac{1}{5}\).
Vì các bước bốc thăm diễn ra độc lập, xác suất chung để kịch bản này xảy ra là:
\( = \frac{1}{7} \times \frac{1}{5} = \frac{1}{{35}} \approx 0,03.\)
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập