Một nghiên cứu đã đưa ra tỉ lệ học sinh cấp THCS sử dụng điện thoại di động trong những năm gần đây như biểu đồ sau:

a) Trục đứng biểu diễn đại lượng nào? Dữ liệu về đại lượng thuộc loại nào?

b) Năm 2017 số học sinh sử dụng điện thoại di động tăng hay giảm bao nhiêu phần trăm so với năm 2019?

c) Năm 2021 trường THCS có 600 học sinh. Tính số học sinh sử dụng điện thoại di động trong năm 2021 của trường đó.

a) Xét \[\Delta ABM\] và \[\Delta ACM\] có:

\[AB = AC\] (do \[\Delta ABC\] cân tại \[A\]);

\[AM\] là cạnh chung;

\[MB = MC\] (do \[M\] là trung điểm của \[BC\]).

Do đó \[\Delta ABM = \Delta ACM\] (c.c.c).

b) Do \[\Delta ABM = \Delta ACM\] (câu a) nên \(\widehat {BAM} = \widehat {CAM}\) (hai góc tương ứng).

Xét \[\Delta AHM\] và \[\Delta AKM\] có:

\(\widehat {AHM} = \widehat {AKM} = 90^\circ \);

\[AM\] là cạnh chung;

\(\widehat {HAM} = \widehat {KAM}\) (do \(\widehat {BAM} = \widehat {CAM}\))

Do đó \[\Delta AHM = \Delta AKM\] (cạnh huyền – góc nhọn)

Suy ra \[MH = MK\] (hai cạnh tương ứng).

c) Do \[\Delta AHM = \Delta AKM\] (câu b) nên \[AH = AK\] (hai cạnh tương ứng).

Xét \[\Delta AHI\] và \[\Delta AKJ\] có:

\(\widehat {AHI} = \widehat {AKJ} = 90^\circ \);

\[AH = AK\] (chứng minh trên);

\(\widehat {JAI}\) là góc chung.

Do đó \[\Delta AHI = \Delta AKJ\] (cạnh góc vuông – góc nhọn kề).

Suy ra \[AI = AJ\] (hai cạnh tương ứng)

• \[\Delta AIJ\] có \[AI = AJ\] nên cân tại \[A\], suy ra \[\widehat {AJI} = \widehat {AIJ}\].

Ta có \[\widehat {AJI} + \widehat {AIJ} + \widehat {JAI} = 180^\circ \] (tổng ba góc của một tam giác)

Suy ra \[\widehat {AJI} = \widehat {AIJ} = \frac{{180^\circ - \widehat {JAI}}}{2}\]          (1)

• \[\Delta ABC\] cân tại \[A\] suy ra \[\widehat {ABC} = \widehat {ACB} = \frac{{180^\circ - \widehat {BAC}}}{2}\]          (2)

Từ (1) và (2) ta có \[\widehat {AJI} = \widehat {ABC} = \frac{{180^\circ - \widehat {BAC}}}{2}\]

Mà hai góc \(\widehat {AJI}\) và \(\widehat {ABC}\) ở vị trí đồng vị nên \[BC\parallel IJ\].

Với mọi \[x\] ta có:

• \[\left| {2x + 3} \right| + \left| {2x - 1} \right| = \left| {2x + 3} \right| + \left| {1 - 2x} \right| \ge \left| {2x + 3 + 1 - 2x} \right|\]

Hay \[\left| {2x + 3} \right| + \left| {2x - 1} \right| \ge 4\]           (1)

• \({\left( {x + 1} \right)^2} \ge 0\) nên \(3{\left( {x + 1} \right)^2} + 2 \ge 2\)

Suy ra \[\frac{8}{{3{{\left( {x + 1} \right)}^2} + 2}} \le \frac{8}{2} = 4\]          (2)

Từ (1) và (2) ta có để \[\left| {2x + 3} \right| + \left| {2x - 1} \right| = \frac{8}{{3{{\left( {x + 1} \right)}^2} + 2}}\] thì:

\[\left| {2x + 3} \right| + \left| {2x - 1} \right| = \frac{8}{{3{{\left( {x + 1} \right)}^2} + 2}} = 4\]

Điều này xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {2x + 3} \right)\left( {1 - 2x} \right) \ge 0\,\,\,\,\left( * \right)\\{\left( {x + 1} \right)^2} = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {**} \right)\end{array} \right.\)

Giải (**): \({\left( {x + 1} \right)^2} = 0\)

                  \(x + 1 = 0\)

                       \(x = - 1\)

Với \(x = - 1\) thay vào (*) ta được: \(\left[ {2.\left( { - 1} \right) + 3} \right]\left[ {1 - 2.\left( { - 1} \right)} \right] = 3 \ge 0\) (thỏa mãn).

Vậy \(x = - 1\) thỏa mãn yêu cầu đề bài.