Cho tam giác \(ABC\) có \(AB > AC\) và \(\widehat {BAC} > 90^\circ \). Vẽ đường cao \(AH\). Gọi \(D,\,\,E\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(AC.\) Vẽ đường tròn tâm \(D\) đường kính \(AB\) và đường tròn tâm \(E\) đường kính \(AC.\) Đường thẳng \(AB\) cắt đường tròn \(\left( E \right)\) tại \(F\) \(\left( {F \ne A} \right)\); đường thẳng \(AC\) cắt đường tròn \(\left( D \right)\) tại \(G\) \(\left( {G \ne A} \right).\) Các đường thẳng \(BG\) và \(CF\) cắt nhau tại \(K\).

a. Chứng minh các điểm \[A,\,\,H,\,\,K\] thẳng hàng và đường tròn ngoại tiếp tam giác \(FGH\) đi qua điểm \(D.\)

b. Trên tia đối của tia \(HB\) lấy điểm \(M\) sao cho \(HB = HM\). Gọi \(N\) là giao điểm của hai đường thẳng \(AM\) và \(CK\). Đường thẳng \(AH\) cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác \(BCK\) tại điểm \(P\) \(\left( {P \ne K} \right).\) Hai đường thẳng \(BP\) và \(HN\) cắt nhau tại \(Q\). Chứng minh \(H\) là trung điểm của đoạn thẳng \(NQ\).

Hướng dẫn giải

1. Ta có \({a^3} + {b^3} = \left( {a + b} \right)\left[ {{{\left( {a + b} \right)}^2} - 3ab} \right]\)

\(40 = 4\left( {16 - 3ab} \right)\)

\(16 - 3ab = 10\)

\(ab = 2\).

Lại có: \({a^2} + {b^2} = {\left( {a + b} \right)^2} - 2ab = 16 - 4 = 12\).

Xét tích: \[\left( {{a^3} + {b^3}} \right)\left( {{a^2} + {b^2}} \right) = {a^5} + {b^5} + {a^2}{b^2}\left( {a + b} \right)\]

\(40 \cdot 12 = P + {2^2} \cdot 4\)

\(480 = P + 16\)

\(P = 464\).

2. Điều kiện xác định: \( - 2 \le x \le 2\). Khai triển phương trình:

\(\left( {2 + x + 2\sqrt {2 + x}  + 1} \right) + \left( {2 - x + 2\sqrt {2 - x}  + 1} \right) = 2x + 6\)

\(6 + 2\sqrt {2 + x}  + 2\sqrt {2 - x}  = 2x + 6\)

\(\sqrt {2 + x}  + \sqrt {2 - x}  = x\)

Do vế trái luôn không âm nên \(x \ge 0\). Bình phương hai vế (với \(0 \le x \le 2\)):

\(\left( {2 + x} \right) + \left( {2 - x} \right) + 2\sqrt {\left( {2 + x} \right)\left( {2 - x} \right)}  = {x^2}\)

\(4 + 2\sqrt {4 - {x^2}}  = {x^2}\)

Đặt \(t = \sqrt {4 - {x^2}} \,\,\left( {t \ge 0} \right),\) ta có \({x^2} = 4 - {t^2}\). Thay vào ta được:

\(4 + 2t = 4 - {t^2}\)

\({t^2} + 2t = 0\)

\(t\left( {t + 2} \right) = 0\)

Vì \(t \ge 0\) nên \(t = 0\) suy ra \(\sqrt {4 - {x^2}}  = 0\)

Khi đó \({x^2} = 4\) nên \(x = 2\) (vì \(x \ge 0\)).

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất \(x = 2\).

3. Không gian mẫu khi chọn ngẫu nhiên mỗi cặp số \(\left( {a,\,\,b} \right)\) có thứ tự từ 1 đến 6 là \(\left| \Omega  \right| = 6 \cdot 6 = 36\).

Nửa chu vi hình chữ nhật là \(a\), diện tích là \(b\).

Gọi chiều dài và chiều rộng là \(x,\,\,y\) \(\left( {x,y \in {\mathbb{N}^*}} \right)\).

Ta có hệ: \(x + y = a\) và \(xy = b\).

Theo định lí Viète đảo, \(x,\,\,y\) là nghiệm của phương trình: \({t^2} - at + b = 0\).

Phương án "hợp lệ" khi phương trình có nghiệm nguyên dương. Khi đó:

• \(\Delta  = {a^2} - 4b \ge 0\) và \(\Delta \) là số chính phương.

• \(a > 0,\,\,b > 0\).

Lần lượt xét các giá trị của \(a\):

• \(a = 1\): Không có giá trị \(b\) thỏa mãn.

• \(a = 2\): \(\Delta  = 4 - 4b \ge 0\) nên \(b = 1\). Cặp \(\left( {2\,;\,\,1} \right)\) hợp lệ.

• \(a = 3\): \(\Delta  = 9 - 4b \ge 0\) nên \(b \in \left\{ {1\,;\,\,2} \right\}\). Chỉ có \(b = 2\) cho \(\Delta  = 1\) (chính phương). Cặp \(\left( {3\,;\,\,2} \right)\) hợp lệ.

• \(a = 4\): \(\Delta  = 16 - 4b \ge 0\). Ta thấy \(b = 3\) và \(b = 4\) thỏa mãn. Cặp \(\left( {4\,;\,\,3} \right),\,\,\left( {4\,;\,\,4} \right)\) hợp lệ.

• \(a = 5\): \(\Delta  = 25 - 4b \ge 0\). Ta thấy \(b = 4\) và \(b = 6\) thỏa mãn. Cặp \[\left( {5\,;\,\,4} \right)\,,\,\,\left( {5\,;\,\,6} \right)\] hợp lệ.

• \(a = 6\): \(\Delta  = 36 - 4b \ge 0\). Ta thấy \(b = 5\) thỏa mãn. Cặp \(\left( {6\,;\,\,5} \right)\) hợp lệ.

Có tổng cộng 7 phương án hợp lệ. Xác suất phần mềm đưa ra một phương án hợp lệ là \(P = \frac{7}{{36}}\).

Hướng dẫn giải

1. Thế các nghiệm vào phương trình tương ứng, ta có:

\(2{b^2} - 3ab + a = 0\quad (1)\)

\(a{\left( {\frac{4}{{3 - b}}} \right)^2} - 3a\left( {\frac{4}{{3 - b}}} \right) + 2 = 0\quad (2)\)

Từ (1) suy ra \(a\left( {1 - 3b} \right) =  - 2{b^2}\)

\(a = \frac{{2{b^2}}}{{3b - 1}}\) (nếu \(b = \frac{1}{3}\) thì \(a \cdot 0 = \frac{{ - 2}}{9}\) (vô lí), do đó \(b \ne \frac{1}{3}\)).

Rút gọn phương trình (2), ta được: \[a\frac{{16}}{{{{\left( {3 - b} \right)}^2}}} - a\frac{{12}}{{3 - b}} + 2 = 0\]

\(a\frac{8}{{{{\left( {3 - b} \right)}^2}}} - a\frac{6}{{3 - b}} + 1 = 0\)

\(a\left[ {8 - 6\left( {3 - b} \right)} \right] + {\left( {b - 3} \right)^2} = 0\)

\(a\left( {6b - 10} \right) + {\left( {b - 3} \right)^2} = 0\)

Thế \(a\) vào ta được:

\(\frac{{2{b^2}\left( {6b - 10} \right)}}{{3b - 1}} + {b^2} - 6b + 9 = 0\)

\(12{b^3} - 20{b^2} + 3{b^3} - {b^2} - 18{b^2} + 6b + 27b - 9 = 0\)

\(15{b^3} - 39{b^2} + 33b - 9 = 0\)

\(5{b^3} - 13{b^2} + 11b - 3 = 0\)

\(\left( {b - 1} \right)\left( {5{b^2} - 8b + 3} \right) = 0\)

\({\left( {b - 1} \right)^2}\left( {5b - 3} \right) = 0\)

TH1: \(b = 1\) suy ra \(a = 1\), do đó \(T = {1^3} + {1^3} = 2\).

TH2: \(b = \frac{3}{5}\) suy ra \(a = \frac{9}{{10}}\), do đó \(T = {\left( {\frac{9}{{10}}} \right)^3} + {\left( {\frac{3}{5}} \right)^3} = \frac{{189}}{{200}}\).

2. a) Máy chủ Alpha xử lý \(x\) bài với chi phí: \(f\left( x \right) = \frac{1}{{40}}{x^2} + 100x\).

Máy chủ Beta sẽ xử lý \((5000 - x)\) bài với chi phí:

\(g\left( x \right) = 400\,\,000 + 200\left( {5000 - x} \right) = 1\,\,400\,\,000 - 200x\).

Tổng chi phí: \(C\left( x \right) = f\left( x \right) + g\left( x \right) = \frac{1}{{40}}{x^2} - 100x + 1\,\,400\,\,000\) (đồng).

b) Tổng chi phí là \(C\left( x \right) = \frac{1}{{40}}{x^2} - 100x + 1\,\,400\,\,000\).

Ta có \(C\left( x \right) = \frac{1}{{40}}\left( {{x^2} - 4\,\,000x} \right) + 1\,\,400\,\,000\)

\( = \frac{1}{{40}}\left( {{x^2} - 2 \cdot x \cdot 2000 + {{2000}^2} - {{2000}^2}} \right) + 1\,\,400\,\,000\)

\( = \frac{1}{{40}}{\left( {x - 2000} \right)^2} - 100\,\,000 + 1\,\,400\,\,000\)\( = \frac{1}{{40}}{\left( {x - 2000} \right)^2} + 1\,\,300\,\,000\).

Vì \({\left( {x - 2000} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(x \in \left[ {0\,;\,\,5000} \right]\) nên \(C(x) \ge 1\,\,300\,\,000\) với mọi \(x \in \left[ {0\,;\,\,5000} \right]\).

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(x - 2000 = 0\) nên \(x = 2000\) (TMĐK).

Vậy tổng chi phí thấp nhất phải trả là \(1\,\,300\,\,000\) đồng.