1. Biết phương trình \(2{x^2} - 3ax + a = 0\) có một nghiệm là \(b\) và phương trình \(a{x^2} - 3ax + 2 = 0\) có một nghiệm là \(\frac{4}{{3 - b}}\) với \(a\) là số thực khác 0 và \(b\) là số thực khác 3. Tính giá trị biểu thức \(T = {a^3} + {b^3}\).

2. Để chuẩn bị cho kỳ thi khảo sát năng lực trực tuyến, hệ thống học tập LMS của trường cần thuê máy chủ từ hai nhà cung cấp dịch vụ điện toán đám mây là Alpha và Beta để tự động xử lý và phân tích ảnh của 5000 bài thi trắc nghiệm. Nhà cung cấp Alpha xử lý \(x\) bài thi với tổng chi phí là \(f(x) = \frac{1}{{40}}{x^2} + 100x\) đồng. Nhà cung cấp Beta tính phí thiết lập hệ thống ban đầu là \(400\,\,000\) đồng và phí xử lý cho mỗi bài thi là 200 đồng.

a. Tính tổng chi phí mà trường phải trả cho cả hai nhà cung cấp theo \(x\), đơn vị: đồng.

b. Tổng chi phí thấp nhất phải trả là bao nhiêu đồng?

Hướng dẫn giải

1. Ta có \({a^2} + 1\,\, \vdots \,\,2027\) và \({b^2} + 1\,\, \vdots \,\,2027\)

\(\left( {{a^2} + 1} \right) - \left( {{b^2} + 1} \right)\,\, \vdots \,\,2027\)

\({a^2} - {b^2}\,\, \vdots \,\,2027\)

\(\left( {a - b} \right)\left( {a + b} \right)\,\, \vdots \,\,2027\).

Vì 2027 là số nguyên tố nên \(\left( {a - b} \right)\,\, \vdots \,\,2027\) hoặc \(\left( {a + b} \right)\,\, \vdots \,\,2027\).

Vì \(0 < a,\,\,b < 2027\) và \(a \ne b\) nên \(0 < \left| {a - b} \right| < 2027\), do đó \(a - b\) không thể chia hết cho 2027.

Do đó \(\left( {a + b} \right)\,\, \vdots \,\,2027\). Vì \(0 < a + b < 4054\) nên \(a + b = 2027\) suy ra \(b = 2027 - a\).

Khi đó \(ab - 1 = a\left( {2027 - a} \right) - 1 = 2027a - \left( {{a^2} + 1} \right)\).

Vì \(2027a\,\, \vdots \,\,2027\) và \(\left( {{a^2} + 1} \right)\,\, \vdots \,\,2027\) nên \(ab - 1\,\, \vdots \,\,2027\) (đpcm).

2. Giả sử tập \(A\) có nhiều hơn 1014 phần tử, tức là \(\left| A \right| \ge 1015\).

Gọi các phần tử của \(A\) là \({a_1} < {a_2} <  \ldots  < {a_k}\) với \(k \ge 1015\).

Vì 3 phần tử bất kỳ luôn tạo thành 3 cạnh của một tam giác, nên tổng của 2 phần tử nhỏ nhất phải lớn hơn phần tử lớn nhất: \({a_1} + {a_2} > {a_k}\)

Mặt khác, vì \({a_i}\) là các số nguyên dương phân biệt, ta có \({a_k} \ge {a_2} + k - 2\).

Kết hợp hai điều trên \({a_1} + {a_2} > {a_k} \ge {a_2} + k - 2\) suy ra \({a_1} > k - 2.\)

Với \(k \ge 1015\), ta có \({a_1} > 1015 - 2\) nên \({a_1} \ge 1014\).

Suy ra: \({a_k} \ge {a_1} + k - 1 \ge 1014 + 1015 - 1 = 2028\).

Điều này vô lý vì mọi phần tử của \(A\) đều thuộc \(S\) nên \({a_k} \le 2026\).

Vậy giả thiết \(\left| A \right| \ge 1015\) là sai. Tập hợp \(A\) có nhiều nhất 1014 phần tử.

Hướng dẫn giải

1. Ta có \({a^3} + {b^3} = \left( {a + b} \right)\left[ {{{\left( {a + b} \right)}^2} - 3ab} \right]\)

\(40 = 4\left( {16 - 3ab} \right)\)

\(16 - 3ab = 10\)

\(ab = 2\).

Lại có: \({a^2} + {b^2} = {\left( {a + b} \right)^2} - 2ab = 16 - 4 = 12\).

Xét tích: \[\left( {{a^3} + {b^3}} \right)\left( {{a^2} + {b^2}} \right) = {a^5} + {b^5} + {a^2}{b^2}\left( {a + b} \right)\]

\(40 \cdot 12 = P + {2^2} \cdot 4\)

\(480 = P + 16\)

\(P = 464\).

2. Điều kiện xác định: \( - 2 \le x \le 2\). Khai triển phương trình:

\(\left( {2 + x + 2\sqrt {2 + x}  + 1} \right) + \left( {2 - x + 2\sqrt {2 - x}  + 1} \right) = 2x + 6\)

\(6 + 2\sqrt {2 + x}  + 2\sqrt {2 - x}  = 2x + 6\)

\(\sqrt {2 + x}  + \sqrt {2 - x}  = x\)

Do vế trái luôn không âm nên \(x \ge 0\). Bình phương hai vế (với \(0 \le x \le 2\)):

\(\left( {2 + x} \right) + \left( {2 - x} \right) + 2\sqrt {\left( {2 + x} \right)\left( {2 - x} \right)}  = {x^2}\)

\(4 + 2\sqrt {4 - {x^2}}  = {x^2}\)

Đặt \(t = \sqrt {4 - {x^2}} \,\,\left( {t \ge 0} \right),\) ta có \({x^2} = 4 - {t^2}\). Thay vào ta được:

\(4 + 2t = 4 - {t^2}\)

\({t^2} + 2t = 0\)

\(t\left( {t + 2} \right) = 0\)

Vì \(t \ge 0\) nên \(t = 0\) suy ra \(\sqrt {4 - {x^2}}  = 0\)

Khi đó \({x^2} = 4\) nên \(x = 2\) (vì \(x \ge 0\)).

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất \(x = 2\).

3. Không gian mẫu khi chọn ngẫu nhiên mỗi cặp số \(\left( {a,\,\,b} \right)\) có thứ tự từ 1 đến 6 là \(\left| \Omega  \right| = 6 \cdot 6 = 36\).

Nửa chu vi hình chữ nhật là \(a\), diện tích là \(b\).

Gọi chiều dài và chiều rộng là \(x,\,\,y\) \(\left( {x,y \in {\mathbb{N}^*}} \right)\).

Ta có hệ: \(x + y = a\) và \(xy = b\).

Theo định lí Viète đảo, \(x,\,\,y\) là nghiệm của phương trình: \({t^2} - at + b = 0\).

Phương án "hợp lệ" khi phương trình có nghiệm nguyên dương. Khi đó:

• \(\Delta  = {a^2} - 4b \ge 0\) và \(\Delta \) là số chính phương.

• \(a > 0,\,\,b > 0\).

Lần lượt xét các giá trị của \(a\):

• \(a = 1\): Không có giá trị \(b\) thỏa mãn.

• \(a = 2\): \(\Delta  = 4 - 4b \ge 0\) nên \(b = 1\). Cặp \(\left( {2\,;\,\,1} \right)\) hợp lệ.

• \(a = 3\): \(\Delta  = 9 - 4b \ge 0\) nên \(b \in \left\{ {1\,;\,\,2} \right\}\). Chỉ có \(b = 2\) cho \(\Delta  = 1\) (chính phương). Cặp \(\left( {3\,;\,\,2} \right)\) hợp lệ.

• \(a = 4\): \(\Delta  = 16 - 4b \ge 0\). Ta thấy \(b = 3\) và \(b = 4\) thỏa mãn. Cặp \(\left( {4\,;\,\,3} \right),\,\,\left( {4\,;\,\,4} \right)\) hợp lệ.

• \(a = 5\): \(\Delta  = 25 - 4b \ge 0\). Ta thấy \(b = 4\) và \(b = 6\) thỏa mãn. Cặp \[\left( {5\,;\,\,4} \right)\,,\,\,\left( {5\,;\,\,6} \right)\] hợp lệ.

• \(a = 6\): \(\Delta  = 36 - 4b \ge 0\). Ta thấy \(b = 5\) thỏa mãn. Cặp \(\left( {6\,;\,\,5} \right)\) hợp lệ.

Có tổng cộng 7 phương án hợp lệ. Xác suất phần mềm đưa ra một phương án hợp lệ là \(P = \frac{7}{{36}}\).