1. Cho \(a\) và \(b\) là hai số nguyên dương phân biệt bé hơn 2027 thỏa mãn \({a^2} + 1,\,\,{b^2} + 1\) là hai số chia hết cho 2027. Chứng minh \(ab - 1\) chia hết cho 2027.

2. Cho tập hợp \(S = \left\{ {1\,;\,\,2\,;\,\, \ldots \,;\,\,2026} \right\}\) và tập hợp \(A\) là tập hợp con chứa ít nhất 3 phần tử của \(S\). Biết rằng ba số phân biệt bất kì thuộc tập hợp \(A\) luôn là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh tập hợp \(A\) có nhiều nhất 1004 phần tử.

Hướng dẫn giải

1. Ta có \({a^3} + {b^3} = \left( {a + b} \right)\left[ {{{\left( {a + b} \right)}^2} - 3ab} \right]\)

\(40 = 4\left( {16 - 3ab} \right)\)

\(16 - 3ab = 10\)

\(ab = 2\).

Lại có: \({a^2} + {b^2} = {\left( {a + b} \right)^2} - 2ab = 16 - 4 = 12\).

Xét tích: \[\left( {{a^3} + {b^3}} \right)\left( {{a^2} + {b^2}} \right) = {a^5} + {b^5} + {a^2}{b^2}\left( {a + b} \right)\]

\(40 \cdot 12 = P + {2^2} \cdot 4\)

\(480 = P + 16\)

\(P = 464\).

2. Điều kiện xác định: \( - 2 \le x \le 2\). Khai triển phương trình:

\(\left( {2 + x + 2\sqrt {2 + x}  + 1} \right) + \left( {2 - x + 2\sqrt {2 - x}  + 1} \right) = 2x + 6\)

\(6 + 2\sqrt {2 + x}  + 2\sqrt {2 - x}  = 2x + 6\)

\(\sqrt {2 + x}  + \sqrt {2 - x}  = x\)

Do vế trái luôn không âm nên \(x \ge 0\). Bình phương hai vế (với \(0 \le x \le 2\)):

\(\left( {2 + x} \right) + \left( {2 - x} \right) + 2\sqrt {\left( {2 + x} \right)\left( {2 - x} \right)}  = {x^2}\)

\(4 + 2\sqrt {4 - {x^2}}  = {x^2}\)

Đặt \(t = \sqrt {4 - {x^2}} \,\,\left( {t \ge 0} \right),\) ta có \({x^2} = 4 - {t^2}\). Thay vào ta được:

\(4 + 2t = 4 - {t^2}\)

\({t^2} + 2t = 0\)

\(t\left( {t + 2} \right) = 0\)

Vì \(t \ge 0\) nên \(t = 0\) suy ra \(\sqrt {4 - {x^2}}  = 0\)

Khi đó \({x^2} = 4\) nên \(x = 2\) (vì \(x \ge 0\)).

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất \(x = 2\).

3. Không gian mẫu khi chọn ngẫu nhiên mỗi cặp số \(\left( {a,\,\,b} \right)\) có thứ tự từ 1 đến 6 là \(\left| \Omega  \right| = 6 \cdot 6 = 36\).

Nửa chu vi hình chữ nhật là \(a\), diện tích là \(b\).

Gọi chiều dài và chiều rộng là \(x,\,\,y\) \(\left( {x,y \in {\mathbb{N}^*}} \right)\).

Ta có hệ: \(x + y = a\) và \(xy = b\).

Theo định lí Viète đảo, \(x,\,\,y\) là nghiệm của phương trình: \({t^2} - at + b = 0\).

Phương án "hợp lệ" khi phương trình có nghiệm nguyên dương. Khi đó:

• \(\Delta  = {a^2} - 4b \ge 0\) và \(\Delta \) là số chính phương.

• \(a > 0,\,\,b > 0\).

Lần lượt xét các giá trị của \(a\):

• \(a = 1\): Không có giá trị \(b\) thỏa mãn.

• \(a = 2\): \(\Delta  = 4 - 4b \ge 0\) nên \(b = 1\). Cặp \(\left( {2\,;\,\,1} \right)\) hợp lệ.

• \(a = 3\): \(\Delta  = 9 - 4b \ge 0\) nên \(b \in \left\{ {1\,;\,\,2} \right\}\). Chỉ có \(b = 2\) cho \(\Delta  = 1\) (chính phương). Cặp \(\left( {3\,;\,\,2} \right)\) hợp lệ.

• \(a = 4\): \(\Delta  = 16 - 4b \ge 0\). Ta thấy \(b = 3\) và \(b = 4\) thỏa mãn. Cặp \(\left( {4\,;\,\,3} \right),\,\,\left( {4\,;\,\,4} \right)\) hợp lệ.

• \(a = 5\): \(\Delta  = 25 - 4b \ge 0\). Ta thấy \(b = 4\) và \(b = 6\) thỏa mãn. Cặp \[\left( {5\,;\,\,4} \right)\,,\,\,\left( {5\,;\,\,6} \right)\] hợp lệ.

• \(a = 6\): \(\Delta  = 36 - 4b \ge 0\). Ta thấy \(b = 5\) thỏa mãn. Cặp \(\left( {6\,;\,\,5} \right)\) hợp lệ.

Có tổng cộng 7 phương án hợp lệ. Xác suất phần mềm đưa ra một phương án hợp lệ là \(P = \frac{7}{{36}}\).