1. Cho các số thực \(a,\,\,b\) thỏa mãn \(a + b = 4\) và \({a^3} + {b^3} = 40\). Tính giá trị biểu thức \(P = {a^5} + {b^5}\).

2. Giải phương trình \({\left( {\sqrt {2 + x}  + 1} \right)^2} + {\left( {\sqrt {2 - x}  + 1} \right)^2} = 2x + 6\).

3. Trong một cuộc thi thiết kế bảng tin của lớp, phần mềm chọn ngẫu nhiên hai số \(a,\,\,b\) từ 1 đến 6. Mỗi cặp \(\left( {a,\,\,b} \right)\) đều có khả năng xuất hiện như nhau. Từ đó, phần mềm đề xuất một tấm bảng hình chữ nhật có nửa chu vi bằng \(a{\rm{ dm}}\) và diện tích bằng \(b{\rm{ d}}{{\rm{m}}^2}\). Phương án được gọi là “hợp lệ” nếu tồn tại một hình chữ nhật có chiều dài và chiều rộng là hai số nguyên dương thỏa mãn các điều kiện trên. Tính xác suất để phần mềm đưa ra một phương án “hợp lệ”.

Hướng dẫn giải

1. Ta có \({a^3} + {b^3} = \left( {a + b} \right)\left[ {{{\left( {a + b} \right)}^2} - 3ab} \right]\)

\(40 = 4\left( {16 - 3ab} \right)\)

\(16 - 3ab = 10\)

\(ab = 2\).

Lại có: \({a^2} + {b^2} = {\left( {a + b} \right)^2} - 2ab = 16 - 4 = 12\).

Xét tích: \[\left( {{a^3} + {b^3}} \right)\left( {{a^2} + {b^2}} \right) = {a^5} + {b^5} + {a^2}{b^2}\left( {a + b} \right)\]

\(40 \cdot 12 = P + {2^2} \cdot 4\)

\(480 = P + 16\)

\(P = 464\).

2. Điều kiện xác định: \( - 2 \le x \le 2\). Khai triển phương trình:

\(\left( {2 + x + 2\sqrt {2 + x}  + 1} \right) + \left( {2 - x + 2\sqrt {2 - x}  + 1} \right) = 2x + 6\)

\(6 + 2\sqrt {2 + x}  + 2\sqrt {2 - x}  = 2x + 6\)

\(\sqrt {2 + x}  + \sqrt {2 - x}  = x\)

Do vế trái luôn không âm nên \(x \ge 0\). Bình phương hai vế (với \(0 \le x \le 2\)):

\(\left( {2 + x} \right) + \left( {2 - x} \right) + 2\sqrt {\left( {2 + x} \right)\left( {2 - x} \right)}  = {x^2}\)

\(4 + 2\sqrt {4 - {x^2}}  = {x^2}\)

Đặt \(t = \sqrt {4 - {x^2}} \,\,\left( {t \ge 0} \right),\) ta có \({x^2} = 4 - {t^2}\). Thay vào ta được:

\(4 + 2t = 4 - {t^2}\)

\({t^2} + 2t = 0\)

\(t\left( {t + 2} \right) = 0\)

Vì \(t \ge 0\) nên \(t = 0\) suy ra \(\sqrt {4 - {x^2}}  = 0\)

Khi đó \({x^2} = 4\) nên \(x = 2\) (vì \(x \ge 0\)).

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất \(x = 2\).

3. Không gian mẫu khi chọn ngẫu nhiên mỗi cặp số \(\left( {a,\,\,b} \right)\) có thứ tự từ 1 đến 6 là \(\left| \Omega  \right| = 6 \cdot 6 = 36\).

Nửa chu vi hình chữ nhật là \(a\), diện tích là \(b\).

Gọi chiều dài và chiều rộng là \(x,\,\,y\) \(\left( {x,y \in {\mathbb{N}^*}} \right)\).

Ta có hệ: \(x + y = a\) và \(xy = b\).

Theo định lí Viète đảo, \(x,\,\,y\) là nghiệm của phương trình: \({t^2} - at + b = 0\).

Phương án "hợp lệ" khi phương trình có nghiệm nguyên dương. Khi đó:

• \(\Delta  = {a^2} - 4b \ge 0\) và \(\Delta \) là số chính phương.

• \(a > 0,\,\,b > 0\).

Lần lượt xét các giá trị của \(a\):

• \(a = 1\): Không có giá trị \(b\) thỏa mãn.

• \(a = 2\): \(\Delta  = 4 - 4b \ge 0\) nên \(b = 1\). Cặp \(\left( {2\,;\,\,1} \right)\) hợp lệ.

• \(a = 3\): \(\Delta  = 9 - 4b \ge 0\) nên \(b \in \left\{ {1\,;\,\,2} \right\}\). Chỉ có \(b = 2\) cho \(\Delta  = 1\) (chính phương). Cặp \(\left( {3\,;\,\,2} \right)\) hợp lệ.

• \(a = 4\): \(\Delta  = 16 - 4b \ge 0\). Ta thấy \(b = 3\) và \(b = 4\) thỏa mãn. Cặp \(\left( {4\,;\,\,3} \right),\,\,\left( {4\,;\,\,4} \right)\) hợp lệ.

• \(a = 5\): \(\Delta  = 25 - 4b \ge 0\). Ta thấy \(b = 4\) và \(b = 6\) thỏa mãn. Cặp \[\left( {5\,;\,\,4} \right)\,,\,\,\left( {5\,;\,\,6} \right)\] hợp lệ.

• \(a = 6\): \(\Delta  = 36 - 4b \ge 0\). Ta thấy \(b = 5\) thỏa mãn. Cặp \(\left( {6\,;\,\,5} \right)\) hợp lệ.

Có tổng cộng 7 phương án hợp lệ. Xác suất phần mềm đưa ra một phương án hợp lệ là \(P = \frac{7}{{36}}\).