Tìm giá trị lớn nhất \(M\) của hàm số \(y = \frac{{3x - 1}}{{x - 3}}\) trên đoạn \(\left[ {0\,;\,2} \right]\).

Gọi số sách trong \(4\) ngăn lần lượt là \({n_1},{n_2},{n_3},{n_4}\). Khi đó, tổng số sách bằng \(7\) và mỗi ngăn nhiều hơn một cuốn sách. Để có duy nhất một ngăn nhiều sách nhất thì ta có các trường hợp sau:
Trường hợp 1: Ngăn nhiều nhất có 4 cuốn, ba ngăn còn lại mỗi ngăn 1 cuốn và 4 là số lớn nhất duy nhất, chọn 1 ngăn (trong 4 ngăn) để chứa 4 cuốn có \(C_4^1 = 4\) cách.
Xếp 7 cuốn sách vào có 7! cách nên số cách xếp trong trường hợp này là \(n\left( {{A_1}} \right) = 4.7!\) cách.
Trường hợp 2: Ngăn nhiều nhất có 3 cuốn, ngăn nhiều thứ hai có 2 cuốn, hai ngăn còn lại mỗi ngăn 1 cuốn, chọn 1 ngăn (trong 4 ngăn) để chứa 3 cuốn có \(C_4^1 = 4\) cách.
Chọn 1 ngăn (trong 3 ngăn còn lại) để chứa 2 cuốn có \(C_3^1 = 3\) cách. Hai ngăn còn lại mỗi ngăn chứa 1 cuốn.
Xếp 7 cuốn sách vào có 7! cách nên số cách xếp là \(n\left( {{A_2}} \right) = 4.3.7! = 12.7!\) cách
Vậy số cách xếp thỏa mãn là: \[n\left( A \right) = n\left( {{A_1}} \right) + n\left( {{A_2}} \right) = 4.7!\, + 12.7! = 16.7!\]
Biến cố \(B\) yêu cầu sách Toán phải nằm trong ngăn nhiều sách nhất.
Vì vai trò của các cuốn sách là như nhau nên xác suất để cuốn sách Toán rơi vào một nhóm \(k\) vị trí trong tổng số \(7\) vị trí là \(\frac{k}{7}\).
Trong trường hợp 1: Ngăn nhiều nhất có 4 cuốn nên xác suất sách Toán nằm ở ngăn này là: \(\frac{4}{7}\)
Vậy số cách thuận lợi cho trường hợp này là: \(\frac{4}{7}.n\left( {{A_1}} \right) = \frac{4}{7}.4.7! = \frac{{16}}{7}.7!\).
Trong trường hợp 2: Ngăn nhiều nhất có \(3\) cuốn nên xác suất sách Toán nẳm ở ngăn này là: \(\frac{3}{7}\)
Vậy số cách thuận lợi cho trường hợp này là: \(\frac{3}{7}.n\left( {{A_2}} \right) = \frac{3}{7}.12.7! = \frac{{36}}{7}.7!\)
Tổng số cách thuận lợi: \(n\left( {A \cap B} \right) = \left( {\frac{{16}}{7} + \frac{{36}}{7}} \right).7! = \frac{{52}}{7}.7!\)
Vậy xác suất cần tính là: \(P\left( {B|A} \right) = \frac{{n\left( {A \cap B} \right)}}{{n\left( A \right)}} = \frac{{\frac{{52}}{7}.7!}}{{16.7!}} = \frac{{13}}{{28}} \approx 0,46\)

Xét lần đầu tiên kim giờ và kim phút gặp nhau, khi đó gọi \(\alpha \) là góc lượng giác mà kim giờ đi được, khi đó kim phút quay được một góc bằng \( - \frac{\pi }{2} + \alpha \). Vì kim phút quay nhanh gấp \(12\) lần kim giờ nên ta có: \( - \frac{\pi }{2} + \alpha = 12\alpha \Leftrightarrow \alpha = - \frac{\pi }{{22}}\). Xét lần thứ hai kim giờ và kim phút gặp nhau, gọi \(\beta \) là góc lượng giác mà kim giờ đi được, khi đó kim phút quay được một góc bằng \( - 2\pi + \beta \)
Vì kim phút quay nhanh gấp \(12\) lần kim giờ nên ta có \( - 2\pi + \beta = 12\beta \Leftrightarrow \beta = - \frac{{2\pi }}{{11}}\).
Kể tại thời điểm đang xét đến các lần gặp nhau thì kim giờ tạo thành các góc lập thành cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_1} = - \frac{\pi }{{22}}\) và công sai \(d = - \frac{{2\pi }}{{11}}\).
Các góc của kim phút cũng lập thành cấp số cộng \(\left( {{v_n}} \right)\) với \({v_1} = - \frac{\pi }{2} + \left( { - \frac{\pi }{{22}}} \right) = - \frac{{6\pi }}{{11}}\) và công sai \(d' = - 2\pi + \left( { - \frac{{2\pi }}{{11}}} \right) = - \frac{{24\pi }}{{11}}\). Theo giả thiết, lần gặp nhau của hai kim lần cuối cùng trước \(9\)h nên ta có \({u_n} > - \pi \) \( \Leftrightarrow - \frac{\pi }{{22}} + \left( {n - 1} \right)\left( { - \frac{{2\pi }}{{11}}} \right) > - \pi \Leftrightarrow 4\left( {n - 1} \right) < 21 \Leftrightarrow n < \frac{{25}}{4}\)
Khi đó lần gặp nhau cuối cùng trước 9h là lần thứ 6, lúc đó kim phút quay được một góc lượng giác bằng \({v_6} = {v_1} + \left( {6 - 1} \right).d' = - \frac{{6\pi }}{{11}} + 5.\left( { - \frac{{24\pi }}{{11}}} \right) = - \frac{{126\pi }}{{11}} \approx - 36\) nên quay được góc lượng giác bằng \(36\) radian.