Phần trắc nghiệm đúng sai của đề thi THPT Quốc Gia gồm có \(04\) câu hỏi. Mỗi câu hỏi sẽ gồm \(04\) ý trắc nghiệm đúng sai a), b), c), d) và mỗi ý chỉ gồm hai lựa chọn là đúng hoặc sai. Quy tắc tính điểm của một câu hỏi đúng sai này như sau:

 

Ø Đúng \(01\) ý trong \(04\) ý được \(0,1\) điểm

Ø Đúng \(02\) ý trong \(04\) ý được \(0,25\) điểm

Ø Đúng \(03\) ý trong \(04\) ý được \(0,5\) điểm

Ø Đúng cả \(04\) ý được \(1\) điểm

Ø Không đúng ý nào trong cả \(04\) ý thì không được điểm

Một học sinh khoanh bừa ngẫu nhiên tất cả các ý của \(4\) câu hỏi. Biết rằng kết quả cuối cùng học sinh này đạt được tổng điểm là \(2,5\) điểm. Tính xác suất để trong \(4\) câu hỏi đó có đúng \(2\) câu học sinh trả lời đúng hoàn toàn (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)

Mỗi câu hỏi sẽ gồm \(04\) ý trắc nghiệm đúng sai a), b), c), d) và mỗi ý chỉ gồm hai lựa chọn là đúng hoặc sai

Tổng số cách trả lời cho mỗi câu hỏi là: \({2^4} = 16\)(cách)

Số cách để đạt các mức điểm như sau:

Được \(1\) điểm khi đúng cả 4 ý  có \(C_4^4 = 1\)(cách)

Được \(0,5\) điểm khi đúng 3 ý có \(C_4^3 = 4\)(cách)

Được \(0,25\) điểm khi đúng 2 ý có \(C_4^2 = 6\)(cách)

Được \(0,1\) điểm khi đúng 1 ý có \(C_4^1 = 4\)(cách)

Được \(0\)điểm khi không làm đúng ý nào có \(C_4^0 = 1\)(cách)

Các trường hợp đạt tổng \(2,5\)điểm

Gọi \({x_1},{x_2},{x_3},{x_4}\)là điểm số của 4 câu hỏi thì khi đó \({x_1} + {x_2} + {x_3} + {x_4} = 2,5\)

Trường hợp 1: Bộ điểm \(\left\{ {1;1;0,5;0} \right\}\)

Số cách chọn vị trí câu hỏi: Ta có 4 câu, chọn 2 câu 1 điểm, 1 câu 0,5 điểm và 1 câu 0 điểm:

Số cách xếp bộ điểm này là: \(\frac{{4!}}{{2!.1!.1!}} = 12\)(cách)

Số cách chọn đáp án: 2 câu được 1 điểm mỗi câu có 1 cách; 1 câu được 0,5 điểm có 4 cách; 1 câu được 0 điểm có 1 cách

Trường hợp 2: Bộ điểm \(\left\{ {1;1;0,25;0,25} \right\}\)

Số cách chọn vị trí câu hỏi: Chọn 2 câu 1 điểm và 2 câu 0,25 điểm nên số cách chọn là\(C_4^2 = 6\)

Số cách chọn đáp án: 2 câu được 1 điểm mỗi câu có 1 cách ; 2 câu được 0,25 điểm mỗi câu có 6 cách

Tổng số cách ở trường hợp này là  \(6.\left( {{1^2}{{.6}^2}} \right) = 216\)(cách)

Trường hợp 3: Bộ điểm \(\left\{ {1;0,5;0,5;0,5} \right\}\)

Số cách chọn vị trí câu hỏi: Chọn 1 câu 1 điểm và 3 câu 0,5 điểm có số cách chọn là \(C_4^1 = 4\).

Số cách khoanh đáp án: 1 câu được 1 điểm có 1 cách; 3 câu được 0,5 điểm mỗi câu có 4 cách

Tổng số cách ở trường hợp này là \(4.\left( {{1^1}{{.4}^3}} \right) = 256\) (cách)

Vậy không gian mẫu là \(n\left( \Omega  \right) = 48 + 216 + 256 = 520\)(cách)

Gọi \(A\) là biến cố “Có đúng 2 câu đạt 1 điểm” nên \(n\left( A \right) = 48 + 216 = 264\)

Vậy xác suất cần tìm là: \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \frac{{264}}{{520}} \approx 0,51\)