Trong không gian với hệ toạ độ \(Oxyz\), cho hình lập phương \(OBCD.O'B'C'D'\) có cạnh bằng \(9\) sao cho điểm \(D\) thuộc tia \(Ox\), điểm \(B\) thuộc tia \(Oy\), và điểm \(O'\) thuộc tia \(Oz\). Điểm \(M\) thuộc cạnh \(O'B'\) sao cho \(O'B' = 3O'M\). Một con kiến bò từ vị trí \(M\) qua sáu mặt của hình lập phương đã cho rồi quay lại vị trí điểm \(M\) sao cho quãng đường đi được của con kiến là ngắn nhất. Hỏi với cách bò như vậy, con kiến đã bò qua bao nhiêu điểm mà điểm đó có hoành độ, tung độ và cao độ là các số nguyên dương?

Mỗi câu hỏi sẽ gồm \(04\) ý trắc nghiệm đúng sai a), b), c), d) và mỗi ý chỉ gồm hai lựa chọn là đúng hoặc sai

Tổng số cách trả lời cho mỗi câu hỏi là: \({2^4} = 16\)(cách)

Số cách để đạt các mức điểm như sau:

Được \(1\) điểm khi đúng cả 4 ý  có \(C_4^4 = 1\)(cách)

Được \(0,5\) điểm khi đúng 3 ý có \(C_4^3 = 4\)(cách)

Được \(0,25\) điểm khi đúng 2 ý có \(C_4^2 = 6\)(cách)

Được \(0,1\) điểm khi đúng 1 ý có \(C_4^1 = 4\)(cách)

Được \(0\)điểm khi không làm đúng ý nào có \(C_4^0 = 1\)(cách)

Các trường hợp đạt tổng \(2,5\)điểm

Gọi \({x_1},{x_2},{x_3},{x_4}\)là điểm số của 4 câu hỏi thì khi đó \({x_1} + {x_2} + {x_3} + {x_4} = 2,5\)

Trường hợp 1: Bộ điểm \(\left\{ {1;1;0,5;0} \right\}\)

Số cách chọn vị trí câu hỏi: Ta có 4 câu, chọn 2 câu 1 điểm, 1 câu 0,5 điểm và 1 câu 0 điểm:

Số cách xếp bộ điểm này là: \(\frac{{4!}}{{2!.1!.1!}} = 12\)(cách)

Số cách chọn đáp án: 2 câu được 1 điểm mỗi câu có 1 cách; 1 câu được 0,5 điểm có 4 cách; 1 câu được 0 điểm có 1 cách

Trường hợp 2: Bộ điểm \(\left\{ {1;1;0,25;0,25} \right\}\)

Số cách chọn vị trí câu hỏi: Chọn 2 câu 1 điểm và 2 câu 0,25 điểm nên số cách chọn là\(C_4^2 = 6\)

Số cách chọn đáp án: 2 câu được 1 điểm mỗi câu có 1 cách ; 2 câu được 0,25 điểm mỗi câu có 6 cách

Tổng số cách ở trường hợp này là  \(6.\left( {{1^2}{{.6}^2}} \right) = 216\)(cách)

Trường hợp 3: Bộ điểm \(\left\{ {1;0,5;0,5;0,5} \right\}\)

Số cách chọn vị trí câu hỏi: Chọn 1 câu 1 điểm và 3 câu 0,5 điểm có số cách chọn là \(C_4^1 = 4\).

Số cách khoanh đáp án: 1 câu được 1 điểm có 1 cách; 3 câu được 0,5 điểm mỗi câu có 4 cách

Tổng số cách ở trường hợp này là \(4.\left( {{1^1}{{.4}^3}} \right) = 256\) (cách)

Vậy không gian mẫu là \(n\left( \Omega  \right) = 48 + 216 + 256 = 520\)(cách)

Gọi \(A\) là biến cố “Có đúng 2 câu đạt 1 điểm” nên \(n\left( A \right) = 48 + 216 = 264\)

Vậy xác suất cần tìm là: \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \frac{{264}}{{520}} \approx 0,51\)

Gọi \(r\) là mức hoa hồng \(\left( \%  \right)\) công ty đưa ra. Thu nhập của đội ngũ kinh doanh là hiệu số giữa tiền hoa hồng nhận được và chi phí hoạt động:

\(I\left( x \right) = \frac{r}{{100}}.S\left( x \right) - C\left( x \right) = \frac{r}{{100}}.8000\sqrt x  - 0,5{x^2} = 80r\sqrt x  - 0,5{x^2}\,\left( {x > 0} \right)\)

Giá trị \(x\)làm cho \(I{\left( x \right)_{\max }}\)là : \[I'\left( x \right) = \frac{{40r}}{{\sqrt x }} - x = 0 \Rightarrow x\left( r \right) = \sqrt[3]{{{{\left( {40r} \right)}^2}}}\]

Công ty hưởng phần : \(\left( {1 - r} \right).S\left( x \right)\)

Thay \(x = x\left( r \right)\)vào \( \Rightarrow L\left( r \right) = \left( {1 - r\% } \right).8000\sqrt {\sqrt[3]{{{{\left( {40r} \right)}^2}}}} \)

Dùng

Bản biến thiên:

Để tối đa hóa lợi nhuận thì công ty cần đặt ra mức hoa hồng là \(25\% \)