Trong không gian hệ tọa độ \(Oxyz\), có một khối bán cầu tâm \(O\left( {0;\,0;\,0} \right)\), bán kính \(R = 2\) và đáy bán cầu trùng với mặt phẳng \(Oxy\) (phần \(z \ge 0\)). Một chùm tia sáng mặt trời chiếu tới khối bán cầu, các tia sáng song song với vectơ \(\overrightarrow v = \left( {1;\,\sqrt 2 ;\, - 1} \right)\). Biết rằng khối bán cầu không cho ánh sáng xuyên qua. Tính diện tích bóng của bán cầu trên mặt phẳng \(Oxy\) (Kết quả làm tròn đến hàng phần chục)

Cách 1: Sử dụng tích phân

Hình chiếu vuông góc của \(\overrightarrow v \)lên mặt phẳng đáy \(\left( {Oxy} \right)\) là \({\overrightarrow v _{xy}} = \left( {1;\sqrt 2 ;0} \right)\).
Độ dài \(\left| {{{\overrightarrow v }_{xy}}} \right| = \sqrt {{1^2} + {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}} = \sqrt 3 \)
Ta thực hiện phép xoay trục: Giữ nguyên trục \(Oz\), ta xoay hệ trục \(Oxy\) quanh \(O\) thành hệ trục \(OXY\)sao cho trục \(OX\) mới trùng với hướng của \({\overrightarrow v _{xy}}\).
Trong hệ tọa độ \(OXYZ\)mới:
Khối bán cầu là khối tròn xoay quanh \(Oz\)nên phương trình không đổi: \({X^2} + {Y^2} + {Z^2} \le 4\)
Vectơ chỉ phương của tia sáng lúc này chỉ còn thành phần trên trục \(OX\)và \(OZ\) tọa độ mới của nó là: \({\overrightarrow {v'} _{xy}} = \left( {\left| {{{\overrightarrow v }_{xy}}} \right|;0;{v_z}} \right) = \left( {\sqrt 3 ;0; - 1} \right)\)
Bóng của chính mặt đáy bán cầu: Do đáy bán cầu đã nằm sẵn trên mặt đất, bóng của nó chính là hình tròn tâm \(O\), bán kính \(R = 2\) có phương trình \(\left( C \right):{X^2} + {Y^2} \le 4\)
Bóng của phần mặt cong bán cầu: Gọi \(M\left( {{X_0};{Y_0};{Z_0}} \right)\)là điểm tiếp xúc thì vectơ pháp tuyến tại điểm \(M\) là \[\vec n = \left( {{X_0};{Y_0};{Z_0}} \right)\]
Điều kiện tiếp xúc (tia sáng vuông góc với pháp tuyến): \[\overrightarrow n .\overrightarrow v = 0 \Leftrightarrow \sqrt 3 {X_0} - {Z_0} = 0 \Rightarrow {Z_0} = \sqrt 3 {X_0}\]
Thay \({Z_0}\)vào phương trình mặt cầu, ta được phương trình đường cong tiếp xúc:
\[X_0^2 + Y_0^2 + Z_0^2 = 4 \Leftrightarrow 4X_0^2 + Y_0^2 = 4\]
Một tia sáng đi qua \(M\)có phương trình tham số:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{X = x + t}\\{Y = y + \sqrt 2 t}\\{Z = z - t}\end{array}} \right.\) và tia sáng qua \(M\)chạm đất khi \(Z = 0 \Rightarrow t = {Z_0} = \sqrt 3 {X_0}\)
Tọa độ điểm bóng trên mặt đất là:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{X = {X_0} + \left( {\sqrt 3 {X_0}} \right)\sqrt 3 = 4{X_0} \Rightarrow {X_0} = \frac{X}{4}}\\{Y = {Y_0}}\end{array}} \right.\)
Thế vào phương trình trên, ta được đường viền của bóng cong là một nửa Elip
\(\left( E \right):\frac{{{X^2}}}{{16}} + \frac{{{Y^2}}}{4} = 1\left( {X \ge 0} \right)\)
Bóng trên mặt đất là sự hợp nhất của hình tròn \(\left( C \right)\)và nửa Elip \(\left( E \right)\). Do nửa Elip bao trùm hoàn toàn nửa phải của hình tròn, nên hình phẳng tạo thành bóng được giới hạn bởi:
Nửa trái là đường tròn \({X^2} + {Y^2} = 4 \Rightarrow Y = \pm \sqrt {4 - {X^2}} \)(với \(X \in \left[ { - 2;0} \right]\))
Nửa phải là Elip \(\frac{{{X^2}}}{{16}} + \frac{{{Y^2}}}{4} = 1 \Rightarrow Y = \pm \frac{1}{2}\sqrt {16 - {X^2}} \)
Gọi \(S\) là diện tích toàn bộ bóng. Do tính đối xứng qua trục \(OX\), ta tính phần diện tích phía trên trục \(OX\)rồi nhân đôi
Vậy diện tích bóng cần tìm là: \[S = 2.\left( {\int\limits_{ - 2}^0 {\sqrt {4 - {X^2}} {\rm{d}}X + \int\limits_0^4 {\frac{1}{2}} \sqrt {16 - {X^2}} {\rm{d}}X} } \right) \approx 18,8\]
Cách 2: Dựa vào tính chất
Gọi \(\alpha \) là góc giữa các tia sáng và mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\): \(\sin \alpha = \frac{{\left| {\vec v.\vec k} \right|}}{{\left| {\vec v} \right|.\left| {\vec k} \right|}} = \frac{{\left| { - 1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .1}} = \frac{1}{2}\)
Suy ra \(\alpha = 30^\circ \)
Bóng của khối bán cầu trên mặt phẳng\(\left( {Oxy} \right)\) được hợp thành bởi hai phần:
Một nửa hình tròn đáy: Phần này nằm sẵn trên mặt phẳng\(\left( {Oxy} \right)\) có diện tích \({S_1} = \frac{1}{2}\pi {R^2}.\)
Một nửa hình elip: Đây là hình chiếu của mặt cong bán cầu xuống mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) theo phương của tia sáng.
Hình chiếu của một hình tròn bán kính \(R\) xuống mặt phẳng nghiêng một góc \(\alpha \)(hoặc hình chiếu của mặt cầu) là một hình elip có các bán trục là \(R\) và \(\frac{R}{{\sin \alpha }}\).
Diện tích nửa hình elip tạo ra bóng là \({S_2} = \frac{1}{2}\frac{{\pi {R^2}}}{{\sin \alpha }}.\)
Vậy tổng diện tích bóng \(S\)là: \(S = {S_1} + {S_2} = \frac{{\pi {R^2}}}{2}\left( {1 + \frac{1}{{\sin \alpha }}} \right) = 6\pi \approx 18,8\)