Một tấm biển quảng cáo lớn hình chữ nhật được treo dọc trên mặt tiền của một trung tâm thương mại. Mép dưới của biển quảng cáo cách mặt đất \(9\)(m), mép trên của biển cách mặt đất \(19\)(m). Một người đi xe đạp di chuyển thẳng hướng về phía tòa nhà với phương trình chuyển động là \(s\left( t \right) = {t^2} + 2t\)(mét), trong đó \(t\) là thời gian tính bằng giây kể từ lúc bắt đầu quan sát. Giả sử rằng mắt quan sát của người đi xe đạp luôn cách mặt đất là \(1\)(m) trong suốt quá trình di chuyển, tức \(MN = 1\)(m). Biết rằng tại thời điểm \(t = 0\), người đó cách tòa nhà \(48\)(m). Biết tốc độ thay đổi của góc nhìn \(\theta \) (rad/s) tại thời điểm \(t = 4\) giây là \(k\). Khi đó giá trị của \(100k\) bằng bao nhiêu?

Gọi \(x\left( t \right)\)à khoảng cách theo phương ngang từ mắt người quan sát đến mặt tường tòa nhà tại thời điểm \(t\) thì khoảng cách còn lại là: \(x\left( t \right) = 48 - \left( {{t^2} + 2t} \right)\)

Suy ra, tốc độ thay đôi khoảng cách: \(x'\left( t \right) =  - 2t - 2\)

Tại thời điểm \(t = 4\) thì hoảng cách: \(x\left( 4 \right) = 48 - \left( {{4^2} + 2.4} \right) = 24\)(m)

Tốc độ: \(x'\left( 4 \right) =  - 2 \cdot 4 - 2 =  - 10\)(m/s)

Gọi \(H\)là hình chiếu vuông góc của mắt người lên tường thì \[EH = x\]

Độ cao từ mắt đến mép dưới biển (đoạn \(HA\)): \(9 - 1 = 8\)(m)

Độ cao từ mắt đến mép trên biển (đoạn \(HB\)):\(19 - 1 = 18\)(m)

Gọi \(\alpha  = \widehat {HEA}\)và \(\beta  = \widehat {HEB}\). Ta có \(\tan \alpha  = \frac{8}{x}\)và \(\tan \beta  = \frac{{18}}{x}\)

Góc nhìn biển quảng cáo là \(\theta \left( t \right) = \beta  - \alpha \)

Suy ra: \(\tan \theta  = \tan \left( {\beta  - \alpha } \right) = \frac{{\tan \beta  - \tan \alpha }}{{1 + \tan \beta  \cdot \tan \alpha }} = \frac{{\frac{{18}}{x} - \frac{8}{x}}}{{1 + \frac{{18}}{x} \cdot \frac{8}{x}}} = \frac{{10x}}{{{x^2} + 144}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

Xem \[\theta \] và \(x\) đều là các hàm số phụ thuộc vào \(t\). Đạo hàm hai vế ta được :

\({\left( {\tan \theta } \right)^\prime } = {\left( {\frac{{10x}}{{{x^2} + 144}}} \right)^\prime } \Leftrightarrow \theta '\left( t \right).\left( {1 + {{\tan }^2}\theta } \right) = \frac{{{{\left( {10x} \right)}^\prime }\left( {{x^2} + 144} \right) - 10x.{{\left( {{x^2} + 144} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {{x^2} + 144} \right)}^2}}}\)

Tại \(t = 4\), ta đã biết \(x = 24\)và \(x' = 10\). Thay vào \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \tan \theta  = \frac{{10 \cdot 24}}{{{{24}^2} + 144}} = \frac{1}{3}\left( 2 \right)\)

Thay \(\left( 2 \right)\)vào \(\left( * \right) \Leftrightarrow k.\left[ {1 + {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^2}} \right] = \frac{{1440 - {{10.24}^2}}}{{{{\left( {{{24}^2} + 144} \right)}^2}}}.\left( { - 10} \right) \Rightarrow k = 0,075\)

Vậy giá trị $100k=\boxed{\mathrm{7,5}}$