Trong không gian \(Oxyz\), có một nguồn sáng phát ra từ điểm \(S\left( {1;1;5} \right)\) theo mọi hướng và một tấm bìa chắn sáng hình tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {3;3;7} \right)\) bán kính bằng \(2\) nằm trên mặt phẳng có phương trình \(\left( \alpha \right):x + y + z - 13 = 0\). Dưới nguồn sáng, bóng của \(\left( C \right)\) trên mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) là một hình phẳng có diện tích bằng bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)

Gọi\(F\left( {a;b;0} \right)\)là một điểm nằm trên đường viền của bóng trên mặt phẳng \[\left( {Oxy} \right)\]

Tia sáng xuất phát từ đỉnh \[S\left( {1;1;5} \right)\]đi qua một điểm\(E\)nằm trên mép tấm bìa và chạm đất tại\(F\). Do đó, ba điểm \(S,\,E,\,F\)thẳng hàng và vectơ chỉ phương của tia sáng là \[\overrightarrow {SF}  = \left( {a - 1;b - 1; - 5} \right)\]

Phương trình tham số của đường thẳng \(SF:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + \left( {a - 1} \right)t}\\{y = 1 + \left( {b - 1} \right)t}\\{z = 5 - 5t}\end{array}} \right.\)

Vì \(E\)nằm trên tia sáng \(SF\), tọa độ \(E\left( {1 + \left( {a - 1} \right)t;1 + \left( {b - 1} \right)t;5 - 5t} \right)\)

Mặt khác, điểm \(E\)thuộc tấm bìa, nên \(E \subset \left( \alpha  \right):x + y + z - 13 = 0\)

Thay tọa độ \(E\)vào phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\)ta được:

\(\left[ {1 + \left( {a - 1} \right)t} \right] + \left[ {1 + \left( {b - 1} \right)t} \right] + \left( {5 - 5t} \right) - 13 = 0 \Leftrightarrow \left( {a + b - 7} \right)t - 6 = 0 \Rightarrow t = \frac{6}{{a + b - 7}}\)

Với \(t = \frac{6}{{a + b - 7}}\)ta có tọa độ \(E\left( {\frac{{7a + b - 13}}{{a + b - 7}};\frac{{a + 7b - 13}}{{a + b - 7}};\frac{{5a + 5b - 65}}{{a + b - 7}}} \right)\)

Vì\(E\)nằm trên mép tấm bìa (là một đường tròn tâm \(I\left( {3;3;7} \right)\), bán kính \(R = 2\)), nên khoảng cách từ \(E\)đến tâm \(I\)luôn bằng \(2\).

Ta có \[I{E^2} = 4 \Leftrightarrow {\left( {\frac{{7a + b - 13}}{{a + b - 7}} - 3} \right)^2} + {\left( {\frac{{a + 7b - 13}}{{a + b - 7}} - 3} \right)^2} + {\left( {\frac{{5a + 5b - 65}}{{a + b - 7}} - 7} \right)^2} = 4\]

\( \Leftrightarrow 5{a^2} - 8ab + 5{b^2} + 38a + 38b + 47 = 0\)

Quy về phương trình bậc hai ẩn \(b\), còn \(a\)là tham số:\[5{b^2} + \left( {38 - 8a} \right)b + \left( {5{a^2} + 38a + 47} \right) = 0\]

Khi ấy, để tồn tại điểm trên bóng (tức là phương trình có nghiệm \(b\)) , thì \(\Delta  \ge 0\)

Khi \(\Delta  \ge 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{b_1} = \frac{{4a - 19 + 3\sqrt { - {a^2} - 38a + 14} }}{5}}\\{{b_2} = \frac{{4a - 19 - 3\sqrt { - {a^2} - 38a + 14} }}{5}}\end{array}} \right.\)

Diện tích bóng là phần hình phẳng kẹp giữa mép trên và mép dưới:

\[S = \int\limits_{ - 19 - 5\sqrt {15} }^{ - 19 + 5\sqrt {15} } {\left( {{b_1} - {b_2}} \right)} {\rm{d}}a = \int\limits_{ - 19 - 5\sqrt {15} }^{ - 19 + 5\sqrt {15} } {\left( {\frac{{4a - 19 + 3\sqrt { - {a^2} - 38a + 14} }}{5} - \frac{{4a - 19 - 3\sqrt { - {a^2} - 38a + 14} }}{5}} \right)} {\rm{d}}a = 225\pi \]

Vậy bóng của \(\left( C \right)\) trên mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) là một hình phẳng có diện tích bằng $225\pi \approx \boxed{707}$