Bác Bình cần xây một căn nhà với chi phí \(1\) tỷ đồng. Đặt kế hoạch sau \(5\) năm phải có đủ số tiền trên thì mỗi năm bác Bình cần gửi vào ngân hàng một khoản tiền tiết kiệm như nhau. Biết lãi suất của ngân hàng là \(7\,\% \)/năm và lãi hàng năm được nhập vào vốn. Tìm số tiền bác Bình gửi vào mỗi năm (Đơn vị tính là triệu đồng và kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)

Đáp án:

Gọi\(F\left( {a;b;0} \right)\)là một điểm nằm trên đường viền của bóng trên mặt phẳng \[\left( {Oxy} \right)\]

Tia sáng xuất phát từ đỉnh \[S\left( {1;1;5} \right)\]đi qua một điểm\(E\)nằm trên mép tấm bìa và chạm đất tại\(F\). Do đó, ba điểm \(S,\,E,\,F\)thẳng hàng và vectơ chỉ phương của tia sáng là \[\overrightarrow {SF}  = \left( {a - 1;b - 1; - 5} \right)\]

Phương trình tham số của đường thẳng \(SF:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + \left( {a - 1} \right)t}\\{y = 1 + \left( {b - 1} \right)t}\\{z = 5 - 5t}\end{array}} \right.\)

Vì \(E\)nằm trên tia sáng \(SF\), tọa độ \(E\left( {1 + \left( {a - 1} \right)t;1 + \left( {b - 1} \right)t;5 - 5t} \right)\)

Mặt khác, điểm \(E\)thuộc tấm bìa, nên \(E \subset \left( \alpha  \right):x + y + z - 13 = 0\)

Thay tọa độ \(E\)vào phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\)ta được:

\(\left[ {1 + \left( {a - 1} \right)t} \right] + \left[ {1 + \left( {b - 1} \right)t} \right] + \left( {5 - 5t} \right) - 13 = 0 \Leftrightarrow \left( {a + b - 7} \right)t - 6 = 0 \Rightarrow t = \frac{6}{{a + b - 7}}\)

Với \(t = \frac{6}{{a + b - 7}}\)ta có tọa độ \(E\left( {\frac{{7a + b - 13}}{{a + b - 7}};\frac{{a + 7b - 13}}{{a + b - 7}};\frac{{5a + 5b - 65}}{{a + b - 7}}} \right)\)

Vì\(E\)nằm trên mép tấm bìa (là một đường tròn tâm \(I\left( {3;3;7} \right)\), bán kính \(R = 2\)), nên khoảng cách từ \(E\)đến tâm \(I\)luôn bằng \(2\).

Ta có \[I{E^2} = 4 \Leftrightarrow {\left( {\frac{{7a + b - 13}}{{a + b - 7}} - 3} \right)^2} + {\left( {\frac{{a + 7b - 13}}{{a + b - 7}} - 3} \right)^2} + {\left( {\frac{{5a + 5b - 65}}{{a + b - 7}} - 7} \right)^2} = 4\]

\( \Leftrightarrow 5{a^2} - 8ab + 5{b^2} + 38a + 38b + 47 = 0\)

Quy về phương trình bậc hai ẩn \(b\), còn \(a\)là tham số:\[5{b^2} + \left( {38 - 8a} \right)b + \left( {5{a^2} + 38a + 47} \right) = 0\]

Khi ấy, để tồn tại điểm trên bóng (tức là phương trình có nghiệm \(b\)) , thì \(\Delta  \ge 0\)

Khi \(\Delta  \ge 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{b_1} = \frac{{4a - 19 + 3\sqrt { - {a^2} - 38a + 14} }}{5}}\\{{b_2} = \frac{{4a - 19 - 3\sqrt { - {a^2} - 38a + 14} }}{5}}\end{array}} \right.\)

Diện tích bóng là phần hình phẳng kẹp giữa mép trên và mép dưới:

\[S = \int\limits_{ - 19 - 5\sqrt {15} }^{ - 19 + 5\sqrt {15} } {\left( {{b_1} - {b_2}} \right)} {\rm{d}}a = \int\limits_{ - 19 - 5\sqrt {15} }^{ - 19 + 5\sqrt {15} } {\left( {\frac{{4a - 19 + 3\sqrt { - {a^2} - 38a + 14} }}{5} - \frac{{4a - 19 - 3\sqrt { - {a^2} - 38a + 14} }}{5}} \right)} {\rm{d}}a = 225\pi \]

Vậy bóng của \(\left( C \right)\) trên mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) là một hình phẳng có diện tích bằng $225\pi \approx \boxed{707}$