Ở các độ cao khác nhau trong khí quyển Trái Đất thì âm thanh di chuyển với tốc độ khác nhau. Tốc độ âm thanh \(s\left( x \right)\)(tính bằng giây) được mô hình hóa bằng phương trình a):

\[s\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 4x + 341}&{0 \le x < 11,5}\\{295}&{11,5 \le x < 22}\\{\frac{3}{4}x + 278,5}&{22 \le x < 32}\\{\frac{3}{2}x + 254,5}&{32 \le x < 50}\\{ - \frac{3}{2}x + 404,5}&{50 \le x \le 80}\end{array}} \right.\]

                            a)                                                                                                  b)

Xét mệnh đề a)
Tại độ cao \(x = 20\)km, giá trị này thuộc khoảng \(11,5 \le x < 22\).
Theo công thức hàm số \(s\left( x \right)\), ta có \(s\left( {20} \right) = 295\)m/s nên mệnh đề a) đúng
Xét mệnh đề b)
Ta kiểm tra tính liên tục tại các điểm chuyển tiếp bằng cách so sánh giới hạn trái, giới hạn phải và giá trị hàm số:
Tại\(x = 11,5:\mathop {\lim }\limits_{x \to {{11,5}^ - }} s\left( x \right) = - 4\left( {11,5} \right) + 341 = 295;s\left( {11,5} \right) = 295\)(liên tục)
Tại \(x = 22:\mathop {\lim }\limits_{x \to {{22}^ - }} s\left( x \right) = 295;\mathop {\lim }\limits_{x \to {{22}^ + }} s\left( x \right) = \frac{3}{4}.22 + 278,5 = 295\)(liên tục)
Tại \(x = 32:\mathop {\lim }\limits_{x \to {{32}^ - }} s\left( x \right) = \frac{3}{4}.32 + 278,5 = 302,5;\mathop {\lim }\limits_{x \to {{32}^ + }} s\left( x \right) = \frac{3}{2}.32 + 254,5 = 302,5\)(liên tục)
Tại \(x = 50:\mathop {\lim }\limits_{x \to {{50}^ - }} s\left( x \right) = \frac{3}{2}.50 + 254,5 = 329,5;\mathop {\lim }\limits_{x \to {{50}^ + }} s\left( x \right) = - \frac{3}{2}.50 + 404,5 = 329,5\)(liên tục)
Hàm số liên tục trên từng khoảng và tại các điểm nối nên mệnh đề b) đúng
Xét mệnh đề c)
Để hàm số có đạo hàm tại \(x = 11,5\) thì đạo hàm trái bằng đạo hàm phải
Đạo hàm bên trái: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{11,5}^ - }} \frac{{s\left( x \right) - s\left( {11,5} \right)}}{{x - 11,5}} = {\left( { - 4x + 341} \right)^\prime } = - 4\)
Đạo hàm bên phải: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{11,5}^ + }} \frac{{s\left( x \right) - s\left( {11,5} \right)}}{{x - 11,5}} = {\left( {295} \right)^\prime } = 0\)
Vì \( - 4 \ne 0\) nên đạo hàm trái khác đạo hàm phải nên hàm số không có đạo hàm tại \(x = 11,5\)
Xét mệnh đề d)
Tốc độ âm thanh trung bình:\[\overline s = \frac{1}{{80 - 0}}\int\limits_0^{80} {s\left( x \right){\rm{d}}x} \]
Ta tính tích phân trên từng khoảng: \({S_1} = \int\limits_0^{11,5} {\left( { - 4x + 341} \right)} {\rm{d}}x = 3657\); \({S_2} = \int\limits_{11,5}^{22} {295{\rm{d}}x} = 3097,5\)
\({S_3} = \int\limits_{22}^{32} {\left( {\frac{3}{4}x + 278,5} \right){\rm{d}}x} = 2987,5\); \({S_4} = \int\limits_{32}^{50} {\left( {\frac{3}{2}x + 254,5} \right)} {\rm{d}}x = 5688\)
\({S_5} = \int\limits_{50}^{80} {\left( { - \frac{3}{2}x + 404,5} \right){\rm{d}}x} = 9210\) nên \(S = {S_1} + {S_2} + {S_3} + {S_4} + {S_5} = 24640\)
Vậy tốc độ âm thanh trung bình là: \(\overline s = \frac{{24640}}{{80}} = 308\)(m/s) nên mệnh đề d) đúng