Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như hình vẽ

Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là

Xét mệnh đề a)
Điều kiện xác định: \[{x^3} - 3{x^2} + 4 > 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2}\left( {x + 1} \right) > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 1 < x < 2\\x > 2\end{array} \right.\]nên mệnh đề a) sai
Xét mệnh đề b)
Ta có:\(f'\left( x \right) = \frac{{3{x^2} - 6x}}{{\left( {{x^3} - 3{x^2} + 4} \right)\ln 5}}\) nên mệnh đề b) đúng
Xét mệnh đề c)
Phương trình \(f'\left( x \right) = \frac{{3{x^2} - 6x}}{{\left( {{x^3} - 3{x^2} + 4} \right)\ln 5}}0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.\)
Điều kiện xác định \(x \ne 2\) và \(x = 0\) không thuộc đoạn \(\left[ {1;\,2} \right]\) suy ra phương trình vô nghiệm nên mệnh đề c) sai
Xét mệnh đề d)
Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đã cho có 1 điểm cực trị nên mệnh đề d) sai

Gọi \(N\) là điểm thuộc đoạn thẳng \(AB\) sao cho \(BA = 3BN\)
Khi đó \(BN = DM\) và \(BN\,{\rm{//}}\,DM\) nên tứ giác \(BNDM\) là hình bình hành
Từ đó suy ra \(BM\,{\rm{//}}\,DN \Rightarrow BM\,{\rm{//}}\,\left( {SDN} \right)\).
Vậy \({\rm{d}}\left( {BM,SD} \right){\rm{ = d}}\left( {BM,\left( {SDN} \right)} \right) = {\rm{d}}\left( {B,\left( {SDN} \right)} \right)\).
Gọi \(H\) và \(K\) lần lượt là hình chiếu của \(A\) lên \(DN\) và \(SH\).
Ta có \(DN \bot AH\) và \(DN \bot SA\) nên \(DN \bot \left( {SAH} \right)\) từ đó suy ra \(DN \bot AK\).
Lại có \(AK \bot SH\) và \(AK \bot DN\) nên \(AK \bot \left( {SDN} \right)\) nên \[{\rm{d}}\left( {A,\left( {SDN} \right)} \right) = AK\].
Do \(AN = \frac{2}{3}AB = 2\) và tam giác \(ADN\) vuông tại \(A\) nên ta có:
\(AH = \frac{{AN.AD}}{{\sqrt {A{N^2} + A{D^2}} }} = \frac{{2.1}}{{\sqrt {{{\left( 2 \right)}^2} + {1^2}} }} = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}\).
Tam giác \(SAH\) vuông tại \(A\) nên \(AK = \frac{{AH.AS}}{{\sqrt {A{H^2} + A{S^2}} }} = \frac{{\frac{{2\sqrt 5 }}{5} \cdot 2}}{{\sqrt {{{\left( {\frac{{2\sqrt 5 }}{5}} \right)}^2} + {{\left( 2 \right)}^2}} }} = \frac{{2\sqrt 6 }}{6}\).
Đường thẳng \(AB\) cắt mặt phẳng \(\left( {SDN} \right)\) tại \(N\) và \(\frac{{BN}}{{AN}} = \frac{1}{2}\) nên khi đó ta có:
\({\rm{d}}\left( {BM,SD} \right) = {\rm{d}}\left( {B,\left( {SDN} \right)} \right) = \frac{1}{2}{\rm{d}}\left( {A,\left( {SDN} \right)} \right) = \frac{1}{2}AK = \frac{{\sqrt 6 }}{6}\).
Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng \(BM\) và \(SD\) bằng $\boxed{\mathrm{0,41}}$.