Một nhà sản xuất sử dụng mô hình toán học để thiết kế một dòng ghế ngã lưng thư giãn cao cấp. Hình dáng của mặt ghế được mô tả bằng đồ thị của hàm số:
\(y = f\left( x \right) = \frac{2}{3}{a^2}{x^3} - 4a{x^2} + 6x - \frac{1}{a}\)\(\left( {a > 0} \right)\)
    
Trong đó một đơn vị trên trục ứng với \(10\)cm ngoài thực tế. Tiêu chí quan trọng của sự thoải mái là chiều dài đùi của người sử dụng phải vừa vặn với khoảng cách theo phương ngang giữa điểm lồi cao nhất và điểm lõm thấp nhất của mặt ghế. Ngoài ra, để mang lại cảm giác ngồi chắc chắn và an toàn cho người dùng thì độ sâu lòng ghế (khoảng cách theo phương thẳng đứng giữa điểm cao nhất và điểm thấp nhật của mặt ghế) phải bằng \(40\)cm. Hỏi chiếc ghế được sản suất ra sẽ phù hợp nhất với người có chiều dài đùi là bao nhiêu centimet?

Đạo hàm của hàm số \(f\left( x \right):\)\(f'\left( x \right) = 2{a^2}{x^2} - 8ax + 6 = {a^2}{x^2} - 4ax + 3 = 0\)
Đặt \(t = ax\), ta có phương trình mới: \({t^2} - 4t + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 1}\\{t = 3}\end{array}} \right.\). Vì \(a > 0\)nên ta có được hoành độ của hai điểm cực trị là:
Điểm cực đại là điểm lồi cao nhất: \({x_1} = \frac{1}{a}\)
Điểm cực tiểu là điểm lõm thấp nhất: \({x_2} = \frac{3}{a}\)
Tại \({x_1} = \frac{1}{a}\): \(f\left( {\frac{1}{a}} \right) = \frac{2}{3}{a^2}\left( {\frac{1}{{{a^3}}}} \right) - 4a\left( {\frac{1}{{{a^2}}}} \right) + 6\left( {\frac{1}{a}} \right) - \frac{1}{a} = \frac{2}{{3a}} - \frac{4}{a} + \frac{6}{a} - \frac{1}{a} = \frac{5}{{3a}}\)
Tại \({x_2} = \frac{3}{a}\): \(f\left( {\frac{3}{a}} \right) = \frac{2}{3}{a^2}\left( {\frac{{27}}{{{a^3}}}} \right) - 4a\left( {\frac{9}{{{a^2}}}} \right) + 6\left( {\frac{3}{a}} \right) - \frac{1}{a} = \frac{{18}}{a} - \frac{{36}}{a} + \frac{{18}}{a} - \frac{1}{a} = - \frac{1}{a}\)
Khoảng cách theo phương thẳng đứng giữa hai điểm này là:
\(\Delta y = f\left( {\frac{1}{a}} \right) - f\left( {\frac{3}{a}} \right) = \frac{5}{{3a}} - \left( { - \frac{1}{a}} \right) = \frac{8}{{3a}}\)
Theo đề bài, độ sau lòng ghế là \(40\)cm.
Vì \(1\)đơn vị \( = 10\)cm, nên độ sâu tương ứng trên đồ thị là \(4\)đơn vị: \(\frac{8}{{3a}} = 4 \Rightarrow a = \frac{2}{3}\left( 1 \right)\)
Khoảng cách theo phương ngang giữa hai điểm cực trị là: \(\Delta x = {x_2} - {x_1} = \frac{3}{a} - \frac{1}{a} = \frac{2}{a}\left( 2 \right)\)
Thay \(\left( 1 \right)\)vào \(\left( 2 \right)\)ta được: \(\Delta x = \frac{2}{{\frac{2}{3}}} = 3\)(đơn vị) nên chiều dài thực tế là: \(3.10 = 30\)cm
Vậy chiếc ghế được sản xuất sẽ phù hợp nhất với người có chiều dài đùi là cm