Một đơn vị sự kiện đang lắp đặt đèn pha sân vận động. Trần của sân vận động song song với mặt đất, có treo hai móc thép lần lượt là \(A\) và \(B\). Trong không gian \(Oxyz\) (với mặt phẳng \(Oxy\) mô phỏng trần nhà, trục \(Oz\) hướng thẳng đứng lên trên, đơn vị là mét), tọa độ hai móc là \(A\left( {4;\,1;\, - 4} \right)\)và \(B\left( {7;\,5;\, - 2} \right)\). Kỹ thuật viên dùng một sợi dây dù gắn đèn vào hai móc sao cho khi đèn ở vị trí cân bằng thì nó cách \(A\) một khoảng \(5\)m và cách \(B\) một khoảng \(2\sqrt {10} \)m. Gọi \(T\left( {a;\,b;\,c} \right)\) là tọa độ của chiếc đèn.

Xét mệnh đề a)
Vì \(AB = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{{\left( {7 - 4} \right)}^2} + {{\left( {5 - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 2 - \left( { - 4} \right)} \right)}^2}} = \sqrt {29} \) m nên mệnh đề a) đúng
Xét mệnh đề b)
Vì ta gọi hình chiều của \(A,B\) lên trần nhà lần lượt có toạ độ \(A'\left( {4;1;0} \right),B'\left( {7;5;0} \right)\), suy ra vectơ chỉ phương của đường thẳng \(A'B'\) là \(\overrightarrow {A'B'} = \left( {3;4;0} \right)\) và đi qua điểm \(A'\left( {4;1;0} \right)\) có dạng:
\(\frac{{x - 4}}{3} = \frac{{y - 1}}{4} \Leftrightarrow 4\left( {x - 4} \right) = 3\left( {y - 1} \right) \Leftrightarrow 4x - 3y - 13 = 0\) nên mệnh đề b) sai
Xét mệnh đề c)
Gọi hình chiếu của \(T\) lên tràn nhà là điểm \(H\left( {x;y;0} \right)\) và khi đó khoảng cahsc từ \(T\) đến trần nhà (mặt phẳng \[\left( {Oxy} \right) \equiv z = 0\]) là \(\left| z \right|\). Gọi \(h\) là khoảng cách từ \(T\) đến trần nhà.
Ta dễ có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{A'A = 4}\\{B'B = 2}\end{array}} \right.\) và đặt \(HA' = x \Rightarrow HB' = AB' - x = 5 - x\).
Hơn nữa trong tam giác vuông dễ thấy \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\left( {h - 4} \right)}^2} + {x^2} = {5^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{{{\left( {h - 2} \right)}^2} + {{\left( {5 - x} \right)}^2} = {{\left( {2\sqrt {10} } \right)}^2} = 40\,}\end{array}} \right.\)
Xét từng phương trình ta được:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{h^2} - 8h + {x^2} - 9 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{{h^2} - 4h + {x^2} - 10x - 11 = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left( 2 \right) - \left( 1 \right) = 4h - 10x - 2 = 0 \Rightarrow h = \frac{{5x + 1}}{2}\)
Thế vào \(\left( 1 \right)\) \( \Leftrightarrow {\left( {\frac{{5x + 1}}{2} - 4} \right)^2} + {x^2} = 25 \Rightarrow x = 5 \Rightarrow h = 8\) (mét) nên mệnh đề c) đúng
Xét mệnh đề d)

Với \(h = 8 \Rightarrow c = - 8\) và ta có \(\frac{{A'H}}{{A'B'}} = \frac{3}{5} \Leftrightarrow \frac{{\overrightarrow {A'H} }}{{\overrightarrow {A'B'} }} = \frac{3}{5} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = {x_{A'}} + \frac{3}{5}\left( {{x_{B'}} - {x_{A'}}} \right) = 4 + \frac{3}{5}.3 = 5,8}\\{y = {y_{A'}} + \frac{3}{5}\left( {{y_{B'}} - {y_{A'}}} \right) = 1 + \frac{3}{5}.4 = 3,4}\end{array}} \right.\)
Khi đó \(a + b + c = 5,8 + 3,4 - 8 = 1,2\) nên mệnh đề d) sai