Một mái nhà hình tròn được đặt trên ba cây cột trụ $A{A}^{\text{'}},B{B}^{\text{'}},C{C}^{\text{'}}$ vuông góc với mặt sàn nhà phẳng, có độ cao lần lượt là \[{\rm{10m}},\,9{\rm{m}},\,8{\rm{m}}\]. Ba chân cột \(A,\,B,\,C\) là ba đỉnh của một tam giác đều trên mặt sàn nhà với cạnh dài 8m. Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ với \(B \in Ox\), \(C \in Oy\), tia \(Oz\) cùng hướng với vectơ \(\overrightarrow {AA'} \). Chọn gốc tọa độ \(O\) trùng với trung điểm của \(AC\) và mỗi đơn vị trên trục có độ dài 1m (xem hình vẽ).

Dựa vào mô tả và hình vẽ, ta xác định tọa độ các điểm như sau (đơn vị: mét)
Gốc tọa độ \(O\left( {0;0;0} \right)\) là trung điểm của\(AC\).
Vì \(C \in Oy\) và \(AC = 8\)m nên \(C\left( {0;4;0} \right)\) và \(A\left( {0; - 4;0} \right)\)
Tam giác \(ABC\)đều cạnh \(8\) nên đường cao\(BO = \frac{{8\sqrt 3 }}{2} = 4\sqrt 3 \) mà \(B \in Ox\) nên\(B\left( {4\sqrt 3 ;0;0} \right)\).
Các đỉnh cột trụ có độ cao tương ứng là \[AA' = 10\], \[BB' = 9\],\[CC' = 8\].
Tọa độ các điểm trên mái là: \(A'\left( {0; - 4;10} \right)\); \(B'\left( {4\sqrt 3 ;0;9} \right)\); \(C'\left( {0;4;8} \right)\)
Ta có vectơ chỉ phương: \[A'C' = \left( {0;8; - 2} \right)\] và \[A'B' = \left( {4\sqrt 3 ;4; - 1} \right)\]
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\) là: \(\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} = \left[ {A'B',A'C'} \right] = \left( {0; - 8\sqrt 3 ; - 32\sqrt 3 } \right) = - 8\sqrt 3 \left( {0;1;4} \right)\)
Phương trình mặt phẳng\(\left( P \right)\) là: \(\left( P \right):y + 4z - 36 = 0\)
Xét mệnh đề a)
Đường thẳng \(OH\) đi qua \(O\left( {0;0;0} \right)\)và vuông góc với \(\left( P \right)\)có phương trình tham số \(OH:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{y = t}\\{z = 4t}\end{array}} \right.\)
Thay vào \(\left( P \right):t + 4.4t - 36 = 0 \Rightarrow t = \frac{{36}}{{17}}\)
Tọa độ điểm \(H\) là : \(H\left( {0;\frac{{36}}{{17}};\frac{{144}}{{17}}} \right)\) nên mệnh đề a) đúng
Xét mệnh đề b)
Giao điểm với trục \(Oz\)ứng với\[x = 0\],\(y = 0\) thay vào phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\), ta được:
\(0 + 4z - 36 = 0 \Rightarrow z = 9\) nên mệnh đề b) đúng
Xét mệnh đề c)
Mặt sàn nhà là mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) có vectơ pháp tuyến\(\vec k = \left( {0;0;1} \right)\)
Gọi \(\alpha \) là góc giữa mái nhà và mặt sàn: \(\cos \alpha = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_p}} .\overrightarrow k } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_p}} } \right|.\left| {\overrightarrow k } \right|}} = \frac{{\left| {0.0 + 1.0 + 4.1} \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {1^2} + {4^2}} .1}} = \frac{4}{{\sqrt {17} }}\)
Suy ra \(\alpha \approx 14^\circ \notin \left[ {27^\circ ;35^\circ } \right]\)nên mệnh đề c) sai
Xét mệnh đề d)
Bán kính mái nhà là bán kính đường tròn ngoại tiếp\(\Delta A'B'C'\)
Độ dài các cạnh: \(A'C' = \sqrt {{{\left( {0 - 0} \right)}^2} + {{\left( {4 - \left( { - 4} \right)} \right)}^2} + {{\left( {8 - 10} \right)}^2}} = 2\sqrt {17} \)
\(A'B' = \sqrt {{{\left( {4\sqrt 3 - 0} \right)}^2} + {{\left( {0 - \left( { - 4} \right)} \right)}^2} + {{\left( {9 - 10} \right)}^2}} = \sqrt {65} \)
\(B'C' = \sqrt {{{\left( {0 - 4\sqrt 3 } \right)}^2} + {{\left( {4 - 0} \right)}^2} + {{\left( {8 - 9} \right)}^2}} = \sqrt {65} \)
Xét \(\Delta A'B'C'\)cân tại\(B'\) và gọi \(M\) là trung điểm\(A'C' \Rightarrow M\left( {0;0;9} \right)\)
Đường cao \(B'M = \sqrt {{{\left( {4\sqrt 3 - 0} \right)}^2} + {0^2} + {{\left( {9 - 9} \right)}^2}} = 4\sqrt 3 \).
Diện tích \({S_{\Delta A'B'C'}} = \frac{1}{2}.B'M.A'C' = \frac{1}{2}.4\sqrt 3 .2\sqrt {17} = 4\sqrt {51} \).
Bán kính \(R = \frac{{A'B'.B'C'.A'C'}}{{4S}} = \frac{{\sqrt {65} .\sqrt {65} .2\sqrt {17} }}{{4.4\sqrt {51} }} = \frac{{65}}{{8\sqrt 3 }} \approx 4,7\)m nên mệnh đề d) đúng