Chi phí nhiên liệu của một chiếc tàu chạy trên sông được chia làm hai phần. Phần thứ nhất không phụ thuộc vào vận tốc và bằng \(480\) nghìn đồng trên \(1\) giờ. Phần thứ hai tỉ lệ thuận với lập phương của vận tốc, khi \(v = 10\) (km/h) thì phần thứ hai bằng \(30\) nghìn đồng trên một giờ.

Từ dữ kiện đề bài, ta xác định được: trạm phòng thủ có tọa độ \(M\left( {1;2;3} \right)\).
Vùng năng lượng bảo vệ (khối cầu\(S\)): có tâm \(I\left( {5;2;3} \right)\) và bán kính\(R = \sqrt 4 = 2\).
Mảnh rác vũ trụ \(N\)thuộc đường thẳng \(\Delta \) nên tọa độ của \(N\)theo tham số \(t\)là: \[N\left( {9;t;9 - t} \right)\]
Khoảng cách \(MN\)và điều kiện để tia laser không xuyên qua khối cầu.
Vectơ \(\overrightarrow {MN} = \left( {8;t - 2;6 - t} \right) \Rightarrow M{N^2} = {8^2} + {\left( {t - 2} \right)^2} + {\left( {6 - t} \right)^2} = 2{t^2} - 16t + 104\) và \(\overrightarrow {MI} = \left( {4;0;0} \right)\)
Để đảm bảo an toàn, khoảng cách từ tâm \(I\) đến đường thẳng \(MN\)phải lớn hơn hoặc bằng bán kính \(R\):
\(d\left( {I,MN} \right) \ge R \Leftrightarrow \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {MI} ,\overrightarrow {MN} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {MN} } \right|}} \ge 2 \Leftrightarrow \frac{{{0^2} + {{\left( {4t - 24} \right)}^2} + {{\left( {4t - 8} \right)}^2}}}{{2{t^2} - 16t + 104}} \ge {2^2} \Leftrightarrow 3{t^2} - 24t + 28 \ge 0\)
Xét hàm số\(f\left( t \right) = M{N^2} = 2{t^2} - 16t + 104\). Đây là một parabol có đỉnh tại\(t = 4\).
Tuy nhiên, tại \(t = 4\)thì \({3.4^2} - 24.4 + 28 = - 20 < 0\)(không thỏa mãn điều kiện an toàn).
Do đó, giá trị \(MN\)nhỏ nhất sẽ đạt được tại biên của vùng an toàn, tức là khi:
\(3{t^2} - 24t + 28 = 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = \frac{{12 - 2\sqrt {15} }}{3}\left( n \right)}\\{t = \frac{{12 + 2\sqrt {15} }}{3}\left( l \right)}\end{array}} \right.\)
Thay vào biểu thức\(M{N^2}\):

$f\left(\frac{12-2\sqrt{15}}{3}\right)=2{\left(\frac{12-2\sqrt{15}}{3}\right)}^2-16\left(\frac{12-2\sqrt{15}}{3}\right)+104=\frac{256}{3}\Rightarrow MN=\sqrt{\frac{256}{3}}.100\approx \boxed{924}$ km

Gọi \(x\) là số triệu đồng tăng thêm trên giá thuê mỗi căn biệt thự mỗi ngày \(\left( {x \ge 0} \right)\).
Vì cứ tăng thêm 1 triệu đồng thì có 10 căn bỏ trống, nên khi tăng \(x\) triệu đồng:
Giá thuê mỗi căn: \(10 + x\) (triệu đồng/ngày).
Số căn biệt thự có khách thuê: \(200 - 10x\) (căn); Số căn biệt thự bỏ trống: \(10x\) (căn).
Điều kiện: \(200 - 10x \ge 0 \Rightarrow 0 \le x \le 20\).
Lợi nhuận hàng ngày \[\left( {f\left( x \right)} \right)\]được tính bằng: Tổng doanh thu - Tổng chi phí vận hành - Tổng chi phí bảo trì.
Doanh thu: \[\left( {10 + x} \right)\left( {200 - 10x} \right)\]
Chi phí vận hành (căn có khách): \(2,5.(200 - 10x)\)
Chi phí bảo trì (căn trống): \(0,5.10x = 5x\)
Ta có hàm số lợi nhuận \(f\left( x \right) = \left( {10 + x} \right)\left( {200 - 10x} \right) - 2,5\left( {200 - 10x} \right) - 5x = - 10{x^2} + 120x + 1500\)
Đây là một hàm bậc hai có đồ thị là một parabol quay bề lõm xuống dưới. Hàm số đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh của parabol: \(x = - \frac{b}{{2a}} = - \frac{{120}}{{2.\left( { - 10} \right)}} = 6\)
Với \(x = 6\), khu nghỉ dưỡng tăng giá thuê thêm 6 triệu đồng mỗi căn. Vậy mức giá thuê mỗi căn biệt thự để đạt lợi nhuận cao nhất là:$10+6=\boxed{16}$ triệu đồng