Một bể chứa nước trong nhà máy có dạng hình cầu. Trong hệ không gian với hệ trục \(Oxyz\) (đơn vị trên các trục là mét), một mặt cầu được mô phỏng hình dáng của bể có tâm \(I\left( {1;\,2;\,3} \right)\) và bán kính bằng \(5\). Tại một thời điểm quan sát, mặt nước trong bể nằm trên mặt phẳng có phương trình \(\left( P \right):2x - 2y + z + 8 = 0\)

Xét mệnh đề a)

Mặt cầu có tâm \(I\left( {1;2;3} \right)\)và bán kính \(R = 5\)

Phương trình mặt cầu là : \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 25\)nên mệnh đề a) đúng

Xét mệnh đề b)

Khoảng cách từ tâm \(I\left( {1;2;3} \right)\)đến mặt phẳng \(\left( P \right)\): \(d\left( {I;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2.1 - 2.2 + 1.3 + 8} \right||}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {1^2}} }} = 3\)m \( = 30\)dm nên mệnh đề b) sai

Xét mệnh đề c)

Mặt thoáng của nước là một hình tròn được tạo bởi giao tuyến của mặt cầu và mặt phẳng \(\left( P \right)\).

Gọi \(r\)là bán kính mặt thoáng nên ta có mối liên hệ:\(r = \sqrt {{R^2} - {d^2}\left( {I;\left( P \right)} \right)}  = \sqrt {{5^2} - {3^3}}  = 4\).

Diện tích mặt thoáng \(S = \pi {r^2} = 16\pi \)(m²) nên mệnh đề c) đúng

Xét mệnh đề d)

Gọi \(v\) là tốc độ dâng của mực nước và \(Q\) là lưu lượng nước bơm vào (\(Q\) không đổi).

Ta có công thức:\(Q = S.v \Rightarrow v = \frac{Q}{S}\). Như vậy, tốc độ dâng tỉ lệ nghịch với diện tích mặt thoáng \(S\)

Tại thời điểm ban đầu (mặt phẳng\(\left( P \right)\)): \({S_{\left( P \right)}} = 16\pi \).

Tại thời điểm sau (mặt phẳng \(Q\)) thì khoảng cách \(d\left( {I;\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {2. - 2.2 + 3 - 1} \right|}}{3} = 0\).

Điều này nghĩa là mặt phẳng \(\left( Q \right)\)đi qua tâm\(I\), bán kính mặt thoáng lúc này bằng bán kính mặt cầu:\({r_Q} = R = 5\).

Diện tích mặt thoáng lúc này:\({S_Q} = \pi {.5^2} = 25\pi \) nên \(\frac{{{v_Q}}}{{{v_P}}} = \frac{{{S_P}}}{{{S_Q}}} = \frac{{16\pi }}{{25\pi }} = \frac{{16}}{{25}}\)nên mệnh đề d) sai