Cho tam giác \(ABC\) cân tại \(A\), trung tuyến \(AH\).

a) Chứng minh \(\Delta AHB = \Delta AHC\).

b) Trên tia đối của tia \(BC\) lấy điểm \(D\) sao cho \(BD = BH\). Từ \(B\) kẻ đường thẳng vuông góc với \(BC\) tại \(B\), cắt \(AD\) tại \(I\). Chứng minh \(\Delta DBI = \Delta HBI\) và so sánh \(DI\) với \(HC\).

c) Gọi G là giao của \(AB\) và \(HI\); \(E\) là trung điểm của \(AH\). Chứng minh rằng \(D;{\rm{ }}G;{\rm{ }}E\) thẳng hàng.

a) Ta có \(\Delta ABC\) cân tại \(A\) nên \(AB = AC\).

Vì \(AH\) là trung tuyến của tam giác \(ABC\)nên \(HB = HC\)

 Xét \(\Delta AHB\) và \(\Delta AHC\)có:

Cạnh \(AH\) chung; \(AB = AC\); \(HB = HC\)

 Do đó\(\Delta AHB = \Delta AHC\) (c. c. c)

b) Xét \(\Delta DBI\) và \(\Delta HBI\) có:

\(BD = BH\) (giả thiết)

\[\widehat {DBI} = \widehat {HBI} = 90^\circ \] (\(BI\) vuông góc với \(BC\) tại \(B\))

\(BI\) là cạnh chung

 Do đó \(\Delta DBI = \Delta HBI\) (c.g.c)

 Suy ra \(\widehat {BDI} = \widehat {BHI}\) (hai góc tương ứng)

\(\widehat {BID} = \widehat {BIH}\) (hai góc tương ứng)

\(DI = HI\) (hai cạnh tương ứng)

Xét \[\Delta DBI\] và \[\Delta HBI\] có:

\[IB\] cạnh chung; \[\widehat {IBH} = \widehat {IBD} = 90^\circ \]; \[BH = BD\left( {gt} \right)\]

Do đó \(\Delta DBI = \Delta HBI\,\,\left( {{\rm{c}}{\rm{.g}}{\rm{.c}}} \right)\)

Ta có: \[DB = BH = HC\].

Mà \[\Delta IBD\] vuông tại \[B\] nên \[DI > DB\] suy ra \[DI > HC\].

c) Ta có \(\Delta DBI = \Delta HBI\left( {cmt} \right) \Rightarrow \widehat {IHB} = \widehat {IDB}\) (2 góc tương ứng)

Mà \[\widehat {AHI} + \widehat {IHD} = 90^\circ \]; \[\widehat {IDH} + \widehat {IAH} = 90^\circ \] nên \[\widehat {IAH} = \widehat {AHI}\].

Suy ra \[\Delta AHI\] cân tại \[I\] nên \[IA = IH\].

Mặt khác \(ID = IH\) (2 cạnh tương ứng) nên \[IA = ID\].

Suy ra \[HI\] là trung tuyến của \[\Delta AHD\].

Xét \[\Delta AHD\] có: \[AB,HI,DE\] là 3 đường trung tuyến.

Có \[G\] là giao của \(AB\) và \(HI\) hay \[G\] là trọng tâm \[\Delta AHD\].

 Suy ra \(D,\)\[G,\]\[E\] thẳng hàng.