Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(A\left( {1;\,2;\, - 1} \right)\), đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z - 2}}{{ - 1}}\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x + y + 2z + 1 = 0\).

1. \[\Delta \] là đường thẳng đi qua điểm \[A\] và song song với đường thẳng \(d\). Khi đó, một điểm thuộc đường thẳng \[\Delta \] có tọa độ là	A. \(\left( {3;\,1;\, - 3} \right)\).
2. Gọi \(Q\) là giao điểm của đường thẳng \(d\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\). Tọa độ của điểm \(Q\) là	B. \(\left( {0;3; - 2} \right)\).
3. Điểm \(F\) thuộc đường thẳng \(d\) và thỏa mãn \[OF = \sqrt {10} \] có tọa độ là	C. \(\left( {9;\, - 6;\, - 7} \right)\).
4. Điểm \(B\) thuộc mặt phẳng \(\left( P \right)\) thỏa mãn đường thẳng \(AB\) vuông góc và cắt đường thẳng \(d\). Tọa độ điểm \(B\) là	D. \(\left( {3;3; - 2} \right)\).
	E. \(\left( {3;\,0;\,1} \right)\).
	F. \(\left( { - 9;\, - 6;\,7} \right)\).

Đáp án: 1 – __ ; 2 – __ ; 3 – __ ; 4 – __

\[\Delta \] là đường thẳng đi qua điểm \(A\left( {1;\,2;\, - 1} \right)\) và song song với \(d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z - 2}}{{ - 1}}\).

Suy ra \(\Delta :\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z + 1}}{{ - 1}}\).

Ta thấy điểm có tọa độ \(\left( {3;3; - 2} \right)\) là điểm thuộc đường thẳng \[\Delta \] vì \(\frac{{3 - 1}}{2} = \frac{{3 - 2}}{1} = \frac{{ - 2 + 1}}{{ - 1}}\left( { = 1} \right)\).

\(Q\) là giao điểm của đường thẳng \(d\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\).

\[Q \in d \Rightarrow Q\left( {2t + 1;\,t - 1;\, - t + 2} \right)\].

\(Q \in \left( P \right) \Rightarrow 2t + 1 + t - 1 + 2\left( { - t + 2} \right) + 1 = 0 \Leftrightarrow t = - 5\).

\( \Rightarrow Q\left( { - 9;\, - 6;\,7} \right)\).

\[F \in d \Rightarrow F\left( {2u + 1;\,u - 1;\, - u + 2} \right)\]

\[OF = \sqrt {10} \Leftrightarrow {\left( {2u + 1} \right)^2} + {\left( {u - 1} \right)^2} + {\left( {2 - u} \right)^2} = 10\] \[ \Leftrightarrow 6{u^2} - 2u - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = - \frac{2}{3}}\\{u = 1}\end{array}} \right.\].

+ Với \[u = - \frac{2}{3}\] thì \[F\left( { - \frac{1}{3};\, - \frac{5}{3};\,\frac{8}{3}} \right)\].

+ Với \[u = 1\] thì \[F\left( {3;\,0;\,1} \right)\].

Ta gọi \(AB\) cắt \(d\) tại điểm \(M\left( {1 + 2m; - 1 + m;2 - m} \right) \in d\).

\(\overrightarrow {AM} = \left( {2m;m - 3;3 - m} \right)\), theo yêu cầu bài toán \(AB\) vuông góc \(d\) nên ta có

\(\overrightarrow {AM} \cdot \overrightarrow {{u_d}} = 0 \Rightarrow 2 \cdot 2m + m - 3 + m - 3 = 0 \Rightarrow m = 1 \Rightarrow \overrightarrow {AM} = \left( {2; - 2;2} \right)\).

Đường thẳng \(AB\) đi qua \(A\) nhận \(\vec u = \frac{1}{2}\overrightarrow {AM} = \left( {1; - 1;1} \right)\) là một vectơ chỉ phương, ta có phương trình \(AB\) là\(AB:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{{ - 1}} = \frac{{z + 1}}{1}\).

Gọi \[B\left( {1 + t;2 - t; - 1 + t} \right) \in AB\]. Lại có điểm \[B \in (P) \Rightarrow 1 + t + 2 - t + 2( - 1 + t) + 1 = 0 \Rightarrow t = - 1\].

Vậy \(B\left( {0;3; - 2} \right)\).

Đáp án: 1 – D; 2 – F; 3 – E; 4 – B.