Cho tam giác \(ABC\) và đường thẳng \(d\).

  a) Tìm điểm \(I\) để\(\,\overrightarrow {IA} \,\, + \overrightarrow {IB}  + 3\overrightarrow {IC} \, = \,\overrightarrow 0 \).

  b) Tìm trên \(d\) điểm \(M\) sao cho \(\left| {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + 3\overrightarrow {MC} } \right|\) nhỏ nhất.

a) Gọi \(E\) là trung điểm của \(AB\). Ta có: \(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} = 2\overrightarrow {IE} \) nên \(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + 3\overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \)

\( \Leftrightarrow 2\overrightarrow {IE} = - 3\overrightarrow {IC} \Leftrightarrow \overrightarrow {IE} = - \frac{3}{2}\overrightarrow {IC} \).      

Vậy \(I\) nằm trong đoạn \(EC\) sao cho \(IE = \frac{3}{2}IC\).            

b) Theo ý a) ta có \(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + 3\overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \).

Khi đó với mọi điểm \(M\) thì \(\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + 3\overrightarrow {MC} } \right| = \left| {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} + \overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} + 3\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IC} } \right)} \right|\)

\( = \left| {5\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + 3\overrightarrow {IC} } \right| = \left| {5\overrightarrow {MI} } \right| = 5MI\).      

Suy ra \(\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + 3\overrightarrow {MC} } \right|\) nhỏ nhất khi \(MI\) nhỏ nhất.

Vậy \(M\) là hình chiếu vuông góc của \(I\) trên \(d\).