Anh Tí muốn chèo thuyền từ vị trí A đến vị trí B về phía hạ lưu bờ đối diện, càng nhanh càng tốt, trên một bờ sông thẳng rộng 3 km (như hình vẽ). Tí có thể chèo thuyền của mình trực tiếp qua sông để đến vị trí C và sau đó chạy đến vị trí B, hay có thể chèo trực tiếp từ vị trí A đến vị trí B, hoặc anh ta có thể chèo đến một vị trí D ở giữa C và B và sau đó chạy đến B. Biết anh ấy có thể chèo thuyền với tốc độ \(6\,{\rm{km/h}}\), chạy với tốc độ \(8\,{\rm{km/h}}\) và quãng đường \(BC = 8\,{\rm{km}}\). Biết tốc độ của dòng nước là không đáng kể so với tốc độ chèo thuyền của anh Tí. Khoảng thời gian ngắn nhất để anh Tí đến B là bao nhiêu phút (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)?

Đáp án: ___

1. Đúng. Vì \(M\) là trung điểm của \[BC\] nên \(\overrightarrow {DM} = \frac{{\overrightarrow {DB} + \overrightarrow {DC} }}{2}\).

2. Sai. Tam giác \[ABC\] cân tại \(A\) \( \Rightarrow AM \bot BC\).

Tam giác \[DBC\] cân tại \(D\) \( \Rightarrow DM \bot BC\).

\( \Rightarrow BC \bot \left( {ADM} \right) \Rightarrow AH \bot BC \Rightarrow \left( {\overrightarrow {AH} ,\overrightarrow {BC} } \right) = 90^\circ \).

3. Đúng. \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AH} = \overrightarrow {AB} \cdot \left( {\frac{{\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AM} }}{2}} \right) = \overrightarrow {AB} \cdot \frac{{\overrightarrow {AD} }}{2} + \frac{{\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AM} }}{2}\).

Ta có \[AB,AC,AD\] đôi một vuông góc \( \Rightarrow \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AD} = 0\).

Nên \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AH} = \frac{{\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AM} }}{2} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} \cdot \left( {\frac{{\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} }}{2}} \right)} \right) = \frac{1}{4}\left( {{{\overrightarrow {AB} }^2} + \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} } \right) = \frac{{{a^2}}}{4}\).

4. Sai. \(\overrightarrow {AH} = \frac{{\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {AD} }}{2} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AM} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} + \frac{1}{2}\left( {\frac{{\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} }}{2}} \right) = \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} + \frac{{\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} }}{4}\).

1. Đúng. Dựa vào đồ thị ta thấy tiệm cận đứng là đường thẳng \(x = - 2\) \( \Leftrightarrow x + 2 = 0\) suy ra \(d = 2.\)

2. Đúng. Dựa vào đồ thị ta thấy đồ thi đi qua điểm \(C\left( {0; - 5} \right)\) nên \[f\left( 0 \right) = - 5.\]

3. Sai. Dựa vào đồ thị ta thấy tiệm cận xiên là đường thẳng \(y = ax + b\) và đi qua hai điểm \(A\left( { - 2;0} \right),B\left( {0; - 4} \right)\) nên ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l} - 2a + b = 0\\b = - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 2\\b = - 4\end{array} \right.\).

Suy ra tiệm cận xiên là đường thẳng \(y = - 2x - 4\).

4. Đúng. Từ các dữ kiện trên ta có \(y = - 2x - 4 + \frac{c}{{x + 2}}\) mà \(f\left( 0 \right) = - 5\) suy ra \(c = - 2\).

Vây đồ thị hàm số đã cho có dạng \(y = - 2x - 4 - \frac{2}{{x + 2}}\).