Anh Tí muốn chèo thuyền từ vị trí A đến vị trí B về phía hạ lưu bờ đối diện, càng nhanh càng tốt, trên một bờ sông thẳng rộng 3 km (như hình vẽ). Tí có thể chèo thuyền của mình trực tiếp qua sông để đến vị trí C và sau đó chạy đến vị trí B, hay có thể chèo trực tiếp từ vị trí A đến vị trí B, hoặc anh ta có thể chèo đến một vị trí D ở giữa C và B và sau đó chạy đến B. Biết anh ấy có thể chèo thuyền với tốc độ \(6\,{\rm{km/h}}\), chạy với tốc độ \(8\,{\rm{km/h}}\) và quãng đường \(BC = 8\,{\rm{km}}\). Biết tốc độ của dòng nước là không đáng kể so với tốc độ chèo thuyền của anh Tí. Khoảng thời gian ngắn nhất để anh Tí đến B là bao nhiêu phút (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)?

Đáp án:

Chọn gốc tọa độ \(O\left( {0;0} \right)\) là trọng tâm tam giác đều \(ABC\) cạnh \(a = 6\) m có \(h = \frac{{6\sqrt 3 }}{2} = 3\sqrt 3 \) m.

Tọa độ các đỉnh: \(A\left( {0;2\sqrt 3 } \right)\), \(B\left( { - 3; - \sqrt 3 } \right)\), \(C\left( {3; - \sqrt 3 } \right)\).

Đường thẳng \(AC\) đi qua \(A\left( {0;2\sqrt 3 } \right)\) và \(C\left( {3; - \sqrt 3 } \right)\) có phương trình: \(y = - \sqrt 3 x + 2\sqrt 3 \).

\(\left( {{P_1}} \right):y = m{x^2} + n\) có trục đối xứng là \(Oy\), đi qua \(B,C\) và tiếp xúc với \(AC\) tại \(C\).

Đồ thị đi qua \(C\left( {3; - \sqrt 3 } \right) \Rightarrow 9m + n = - \sqrt 3 \,\,\left( 1 \right)\).

Theo giả thiết, \(\left( {{P_1}} \right)\) tiếp xúc với \(AC\) tại \(C \Rightarrow {y'_{\left( {{P_1}} \right)}}\left( 3 \right) = {k_{AC}} \Rightarrow 2m \cdot 3 = - \sqrt 3 \Rightarrow m = - \frac{{\sqrt 3 }}{6}\).

Thay \(m = - \frac{{\sqrt 3 }}{6}\) vào \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow 9\left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{6}} \right) + n = - \sqrt 3 \Rightarrow n = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\) nên \({\left( P \right)_1}:y = - \frac{{\sqrt 3 }}{6}{x^2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).

Phần hoa ở giữa được giới hạn bởi 3 cung parabol đối xứng qua tâm \(O\).

Giao điểm \({I_2}\) của \(\left( {{P_1}} \right)\) và \({\left( P \right)_2}\) nằm trên đường phân giác \(OC:y = - \frac{{\sqrt 3 }}{3}x\).

Xét phương trình hoành độ giao điểm: \( - \frac{{\sqrt 3 }}{6}{x^2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2} = - \frac{{\sqrt 3 }}{3}x \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3\left( l \right)}\\{x = - 1\left( n \right)}\end{array}} \right.\) .

Suy ra, giao điểm \({I_1}\left( { - 1;\frac{{\sqrt 3 }}{3}} \right)\)và \({I_2}\left( {1;\frac{{\sqrt 3 }}{3}} \right)\).

Khoảng cách từ tâm \(O\) đến các giao điểm của các parabol là bằng nhau:

\(O{I_2} = O{I_3} = \sqrt {{1^2} + {{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}} = \frac{{2\sqrt 3 }}{3} \Rightarrow \)\[{I_3} \cap OA \equiv Oy \Rightarrow {I_3}\left( {0; - \frac{{2\sqrt 3 }}{3}} \right)\].

Diện tích phần trồng hoa là:

\[{S_{hoa}} = {S_{\Delta {I_1}{I_2}{I_3}}} + 3\int\limits_{ - 1}^1 {\left[ {\left( {{P_1}} \right) - {y_{{I_1}{I_2}}}} \right]\,} {\rm{d}}x = \frac{1}{2}2\left[ {\frac{{\sqrt 3 }}{3} - \left( { - \frac{{2\sqrt 3 }}{3}} \right)} \right]{\rm{d}}x - 3\int\limits_{ - 1}^1 {\left[ {\left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{6}{x^2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right) - \frac{{\sqrt 3 }}{3}} \right]} \,{\rm{d}}x = \frac{{5\sqrt 3 }}{3}\] (m²).

Diện tích phần trồng cỏ là:

\[{S_{co}} = 3 \cdot {S_{\left( {{P_1}} \right) \cap \,\left( {{P_2}} \right)}} - {S_{hoa}} = 3 \cdot 2\int\limits_{ - 1}^3 {\left[ {\left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{6}{x^2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right) - \left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{3}x} \right)} \right]} \,{\rm{d}}x - \frac{{5\sqrt 3 }}{3} = \frac{{17\sqrt 3 }}{3}\] (m²).

Vậy tổng diện tích cần tính là: \(S = {S_{hoa}} + {S_{co}} = \frac{{5\sqrt 3 }}{3} + \frac{{17\sqrt 3 }}{3} = \frac{{22\sqrt 3 }}{3} \approx 12,7\) (m²).

Đáp án: 12,7.

Ta có bảng sau:

Giá trị trung bình của bảng số liệu là: \[\overline x = \frac{{5,5 \cdot 2 + 6,5 \cdot 3 + 7,5 \cdot 8 + 8,5 \cdot 15 + 9,5 \cdot 12}}{{40}} = 8,3\]. Chọn A.