Cho tam giác \(ABC\) có \(AB = 2\), \(AC = 1\) và \(\widehat A = 60^\circ \). Tính độ dài cạnh \(BC\).

a) ĐÚNG. Ngôi sao 5 cánh có 5 đỉnh nằm đều nhau trên đường tròn. Góc ở tâm tạo bởi một cánh của ngôi sao cân xứng là \(\widehat {BAC} = \frac{{360^\circ }}{{10}} = 36^\circ \) (mỗi cánh tạo bởi hai tam giác bằng nhau chung cạnh đáy từ tâm kéo dài, hoặc góc ở đỉnh tâm của mỗi tam giác nhỏ cấu thành ngôi sao đều bằng nhau, chia góc vòng tròn \(360^\circ \) thành 10 phần bằng nhau).

b) SAI. Theo định lý côsin phải là dấu trừ: \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2AB.AC.{\rm{cos}}\widehat {BAC}\).

c) ĐÚNG. Sử dụng định lý côsin để giải tìm \(AC\):

Ta có \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot {\rm{cos}}36^\circ \)

\( \Rightarrow {30^2} = {20^2} + A{C^2} - 2 \cdot 20 \cdot AC \cdot {\rm{cos}}36^\circ \)

\(900 = 400 + A{C^2} - 40 \cdot {\rm{cos}}36^\circ \cdot AC\)

\(A{C^2} - 40 \cdot {\rm{cos}}36^\circ \cdot AC - 500 = 0\)

Từ đó suy ra \[AC = 20\cos 36^\circ + \sqrt {{{\left( {20\cos 36^\circ } \right)}^2} + 500} \approx 43,8{\rm{\;}}\left( {{\rm{cm}}} \right)\].

d) SAI. Bán kính đường tròn ngoại tiếp logo chính là độ dài đoạn \(AC\).

Diện tích hình tròn: \[{S_{{\rm{tr\`o n}}}} = \pi \cdot A{C^2}\].

Diện tích hình ngôi sao gồm 10 tam giác nhỏ bằng tam giác \(ABC\):

\({S_{{\rm{ng\^o i\;sao}}}} = 10 \cdot {S_{\Delta ABC}}\)\( = 10 \cdot \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot {\rm{sin}}36^\circ \approx 100 \cdot {\rm{sin}}36^\circ \cdot AC\).

Diện tích phần tô đậm ở nền: \[S = {S_{{\rm{tr\`o n}}}} - {S_{{\rm{ng\^o i\;sao}}}} \approx 3448,4{\rm{\;}}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\].

a) ĐÚNG. Nhìn từ trái sang phải dọc trục \(Ox\), đồ thị bắt đầu tại điểm có hoành độ \(x = - 3\) và kết thúc tại điểm có hoành độ \(x = 4\). Do đó tập xác định là \(D = \left[ { - 3;4} \right]\).

b) ĐÚNG. Nhìn từ dưới lên trên dọc trục \(Oy\), điểm thấp nhất của đồ thị có tung độ \(y = - 2\) (tại \(x = - 1\)) và điểm cao nhất của đồ thị có tung độ \(y = 3\) (tại \(x = 2\)). Do đó tập giá trị là \(\left[ { - 2;3} \right]\).

c) SAI. Trên khoảng \(\left( { - 1;2} \right)\), đồ thị đi lên nên hàm số đồng biến trên \(\left( { - 1;2} \right)\). Khoảng \(\left( { - 2;3} \right)\) không phải khoảng đồng biến của hàm số (vì trên \(\left( { - 2; - 1} \right)\) đồ thị đi xuống, hàm số nghịch biến).

d) SAI. Xét trên đoạn \(\left[ {0;4} \right]\):

Tại \(x = 0 \Rightarrow y = 0\).

Trên đoạn \(\left[ {0;2} \right]\), đồ thị đi lên từ \(\left( {0;0} \right)\) đến cao nhất tại điểm \(\left( {2;3} \right) \Rightarrow M = 3\).

Trên đoạn \(\left[ {2;4} \right]\), đồ thị đi xuống từ \(\left( {2;3} \right)\) đến thấp nhất tại điểm \(\left( {4; - 1} \right) \Rightarrow m = - 1\).

Vậy trên đoạn \(\left[ {0;4} \right]\), giá trị lớn nhất là \(M = 3\) và giá trị nhỏ nhất là \(m = - 1\).

Tính tổng bình phương: \({M^2} + {m^2} = {3^2} + {\left( { - 1} \right)^2} = 9 + 1 = 10 \ne 13\). Do đó mệnh đề phát biểu \({M^2} + {m^2} = 13\) là SAI.