Tìm số tự nhiên n để 5n – 2n chia hết cho 9.

Câu hỏi:

08/06/2026 34

Tìm số tự nhiên n để 5ⁿ – 2ⁿ chia hết cho 9.

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Xét các trường hợp:

TH1: Với n = 3k (k Î \(\mathbb{N}\)) ta có: 5ⁿ – 2ⁿ= 5^3k – 2^3k= 125^k – 8^k.

Vì 125 và 8 có cùng số dư khi chia cho 9 nên 125^k và 8^k có cùng số dư khi chia cho 9. Do đó, 125^k – 8^k chia hết cho 9.

TH2: Với n = 3k + 1 (k Î \(\mathbb{N}\)) ta có:

5ⁿ – 2ⁿ= 5^{3k + 1} – 2^{3k + 1}= 5.125^k – 2.8^k = 2(125^k – 8^k) + 3.125^k.

Ta thấy: 2(125^k – 8^k) chia hết cho 9, 3.125^k không chia hết cho 9 nên 5ⁿ – 2ⁿ không chia hết cho 9.

TH3: Với n = 3k + 2 (k Î \(\mathbb{N}\)) ta có:

5ⁿ – 2ⁿ= 5^{3k + 2} – 2^{3k + 2}= 25.125^k – 4.8^k = 4(125^k – 8^k) + 21.125^k.

Ta thấy: 4(125^k – 8^k) chia hết cho 9, 21.125^k không chia hết cho 9 nên 5ⁿ – 2ⁿ không chia hết cho 9.

Vậy với n = 3k (k Î \(\mathbb{N}\)) thì 5ⁿ – 2ⁿ chia hết cho 9.

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Xem đáp án

Lời giải

a) Vì tứ giác ABCD là hình thang cân nên AD = BC, \(\widehat {\rm{D}} = \widehat {\rm{C}}\).

Xét DAHD và DBKC có: \(\widehat {{\rm{AHD}}} = \widehat {{\rm{BKC}}} = 90^\circ \), AD = BC, \(\widehat {\rm{D}} = \widehat {\rm{C}}\).

Do đó, DAHD = DBKC (ch – gn).

b) Vì DAHD = DBKC nên AH = BK. Lại có: AH // BK (cùng song song với DC).

Do đó, tứ giác ABKH là hình bình hành. Suy ra AB = HK.

Câu 2

Xem đáp án

Lời giải

a) Tam giác ABC vuông tại A nên \(\widehat {{\rm{BAC}}} = 90^\circ \).

Vì DM ^ AB tại M, DN ^ AC tại N nên \(\widehat {{\rm{DNA}}} = \widehat {{\rm{DNC}}} = \widehat {{\rm{DMA}}} = \widehat {{\rm{DMB}}} = 90^\circ \).

Tứ giác AMDN có: \(\widehat {{\rm{DNA}}} = \widehat {{\rm{DMA}}} = \widehat {{\rm{NAM}}} = 90^\circ \) nên tứ giác AMDN là hình chữ nhật.

b) Gọi E là giao điểm của AD và MN, mà tứ giác ADMN là hình chữ nhật nên EN = EM = ED = AE.

Vì tam giác AHD vuông tại H, HE là trung tuyến ứng với cạnh huyền AD nên ED = AE = EH. Suy ra: ED = AE = EH = EN = EM.

Tam giác NHM có: HE là đường trung tuyến của tam giác và EH = EN = EM nên tam giác NHM vuông tại H. Suy ra \(\widehat {{\rm{NHM}}} = 90^\circ \).

Câu 3