Hai trạm phát sóng M và N đặt cách nhau 200 km. Trạm phát sóng M và trạm phát sóng N có bán kính hoạt động lần lượt là 100 km và \(100\sqrt 3 \) km. Hỏi diện tích của khu vực có thể đặt thiết bị thu sóng sao cho thu được cả hai sóng từ trạm M và N bằng bao nhiêu km²? Biết rằng nếu khoảng cách từ thiết bị thu sóng đến trạm phát sóng lớn hơn bán kính hoạt động của trạm phát sóng thì thiết bị không thu được sóng của trạm phát sóng đó. (Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

 

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 8859

Gọi C và D là các điểm chung của hai đường tròn (M; 100 km) và (N; \(100\sqrt 3 \) km).

Vì CM² + CN² = 100² + \({\left( {100\sqrt 3 } \right)^2}\) = 40 000 = MN² nên tam giác CMN vuông tại C.

Xét tam giác CMN vuông tại C có: \(\sin \widehat {{\rm{CMN}}} = \frac{{{\rm{CN}}}}{{{\rm{MN}}}} = \frac{{100\sqrt 3 }}{{200}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\) nên \(\widehat {{\rm{CMN}}} = 60^\circ .\)

Suy ra: \(\widehat {{\rm{CNM}}} = 90^\circ - \widehat {{\rm{CMN}}} = 30^\circ .\)

Tương tự ta có: \(\widehat {{\rm{DMN}}} = 60^\circ ,\;\,\widehat {{\rm{DNM}}} = 30^\circ .\)

Ta có: \(\widehat {{\rm{CMD}}} = \widehat {{\rm{CMN}}} + \widehat {{\rm{NMD}}} = 120^\circ ;\;\,\widehat {{\rm{CND}}} = \widehat {{\rm{CNM}}} + \widehat {{\rm{MND}}} = 60^\circ \).

Vì CN = ND nên DCND cân tại N, mà \(\widehat {{\rm{CND}}} = 60^\circ \) nên DCND đều nên \({\rm{CD}} = 100\sqrt 3 \;\,{\rm{km}}{\rm{.}}\)

Gọi E là giao điểm của MN và CD.

Vì \(\widehat {{\rm{CNM}}} = \widehat {{\rm{MND}}} = 30^\circ \) nên NM là tia phân giác của góc CND.

Vì DCND đều nên NE là đường phân giác đồng thời là đường cao trong tam giác đó. Suy ra CD ^ MN tại E.

Diện tích tứ giác CMDN là:

S_MCND = S_DCMN + S_DMND \( = \frac{1}{2}{\rm{CE}} \cdot {\rm{MN}} + \frac{1}{2}{\rm{DE}} \cdot {\rm{MN}} = \frac{1}{2}{\rm{CD}} \cdot {\rm{MN}} = 10\;000\sqrt 3 \;\left( {{\rm{k}}{{\rm{m}}^2}} \right)\).

Diện tích của hình quạt tròn MCD được giới hạn bởi hai bán kính MC, MD và cung nhỏ CD của (M; 100 km) là: \({{\rm{S}}_1} = \frac{{{\rm{\pi }} \cdot {{100}^2} \cdot 120}}{{360}} = \frac{{10\;000{\rm{\pi }}}}{3}\;\,\left( {{\rm{k}}{{\rm{m}}^2}} \right)\).

Diện tích của hình quạt tròn NCD được giới hạn bởi hai bán kính NC, ND và cung nhỏ CD của (N; \(100\sqrt 3 \) km) là: \({{\rm{S}}_2} = \frac{{{\rm{\pi }} \cdot {{\left( {100\sqrt 3 } \right)}^2} \cdot 60}}{{360}} = 5\;000{\rm{\pi }}\;\,\left( {{\rm{k}}{{\rm{m}}^2}} \right)\).

Diện tích của khu vực có thể đặt thiết bị thu sóng sao cho thu được cả hai sóng phát từ trạm M và trạm N là:

S₁ + S₂ – S_MCND \( = \frac{{10\;000{\rm{\pi }}}}{3} + 5\;000{\rm{\pi }} - 10\;000\sqrt 3 \approx 8\;859\;\,\left( {{\rm{k}}{{\rm{m}}^2}} \right).\)

Vậy diện tích của khu vực có thể đặt thiết bị thu sóng sao cho thu được cả hai sóng phát từ trạm M và trạm N bằng khoảng 8 859 km².