Trong không gian \[Oxyz,\]cho mặt cầu \((S):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2z - 3 = 0\) và điểm \(A(2;2;2)\). Biết rằng từ \(A\) có thể kẻ được các tiếp tuyến đến mặt cầu \((S)\), đồng thời các tiếp điểm luôn thuộc mặt phẳng \((\alpha )\) có phương trình \(ax + by + cz - 5 = 0\). Mặt phẳng \((\alpha )\) đi qua điểm nào dưới đây?
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Giải chi tiết:
Mặt cầu \((S)\) có tâm \(I(0;0;1)\), bán kính \(R = \sqrt {{0^2} + {0^2} + {{( - 1)}^2} + 3} = 2\).
Nhận thấy: \((\alpha )\) là mặt phẳng vuông góc với\[\;AI.\]
Mặt phẳng \((\alpha )\) nhận \(\overrightarrow {IA} = (2;2;1)\) làm vectơ pháp tuyến.
Kẻ một tiếp tuyến \[AB\] đến mặt cầu \((S)\) với \(B\) là tiếp điểm.
Gọi \(H(x;y;z)\) là chân đường cao kẻ từ \(B\) của tam giác \[ABI.\]Khi đó \(H \in (\alpha )\).
Ta có: \(IA = 3\). Tam giác \[ABI\]vuông tại \(B\) nên \(AB = \sqrt {I{A^2} - I{B^2}} = \sqrt {{3^2} - {2^2}} = \sqrt 5 \).
Ta có: \(I{B^2} = IH \cdot IA \Rightarrow IH = \frac{{I{B^2}}}{{IA}} = \frac{4}{3} \Rightarrow IH = \frac{4}{9} \cdot IA\).
Suy ra \(\overrightarrow {IH} = \frac{4}{9}\overrightarrow {IA} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - 0 = \frac{4}{9} \cdot 2}\\{y - 0 = \frac{4}{9} \cdot 2}\\{z - 1 = \frac{4}{9} \cdot 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{8}{9}}\\{y = \frac{8}{9}}\\{z = \frac{{13}}{9}}\end{array}} \right. \Rightarrow H\left( {\frac{8}{9};\frac{8}{9};\frac{{13}}{9}} \right)\).
Do đó \((\alpha ):2 \cdot \left( {x - \frac{8}{9}} \right) + 2 \cdot \left( {y - \frac{8}{9}} \right) + 1 \cdot \left( {z - \frac{{13}}{9}} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + 2y + z - 5 = 0\).
Vậy, \((\alpha )\) đi qua điểm \(Q(1;1;1)\).
Đáp án cần chọn là: D
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
Lời giải
Giải chi tiết:
a) TCĐ: \[x{\rm{ }} = 2{\rm{ }} \Rightarrow D{\rm{ }} = {\rm{ }}\mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\] nên a sai
b) Hàm số nghịch biến trên khoảng \[\left( { - {\rm{ }}\infty ;{\rm{ }}2} \right)\] và \[\left( {2;{\rm{ }} + \infty } \right)\] nên b đúng
c) Điểm \[I\left( {2; - 1} \right)\] là tâm đối xứng của đồ thị nên c sai
d) Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định nên \(\)\[am < {\rm{ }}0\] nên a đúng
Đáp án cần chọn là: S; Đ; S; Đ
Câu 2
Lời giải
Giải chi tiết:
\(f(x) = \sqrt {{x^2} - 4} \)
ĐK: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x > 2}\\{x < - 2}\end{array}} \right.\)
\(f'(x) = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} - 4} }} > 0 \Leftrightarrow x > 0\)
Vậy hàm số đồng biến trên \((2; + \infty ).\)
Đáp án cần chọn là: B
Câu 3
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập