Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy \[ABCD\] là hình chữ nhật, mặt bên \((SAD)\) là tam giác vuông tại \(S\). Hình chiếu vuông góc của \(S\) trên mặt đáy là điểm \(H\) thuộc \[AD\] sao cho \(HA = 3HD\). Biết \(SA = 2a\sqrt 3 \), \[SC\]tạo với đáy một góc ${30}^{°}$. Gọi \(M\) là trung điểm \[AB.\] Tính \({d_{[M;(SBC)]}}\). 

Giải chi tiết:

Trong \((ABCD)\) kéo dài \(MH\) cắt \(BC\) tại \(N\), kẻ \(HK\parallel AB\parallel CD\;(K \in BC)\).

Áp dụng định lí Ta-lét ta có: \(\frac{{MN}}{{NH}} = \frac{{MB}}{{HK}} = \frac{1}{2} \Rightarrow M\) là trung điểm của \(HN.\)

Ta có: \(HM \cap (SBC) = N \Rightarrow \frac{{d(M;(SBC))}}{{d(H;(SBC))}} = \frac{{MN}}{{HN}} = \frac{1}{2} \Rightarrow d(M;(SBC)) = \frac{1}{2}d(H;(SBC))\).

Trong \((SHK)\) kẻ \(HI \bot SK\) ta có:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{BC \bot HK}\\{BC \bot SH}\end{array}} \right. \Rightarrow BC \bot (SHK) \Rightarrow BC \bot HI\)

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{HI \bot SK}\\{HI \bot BC}\end{array}} \right. \Rightarrow HI \bot (SBC) \Rightarrow d(H;(SBC)) = HI\)

+ Đặt \(SH = x\).

+ $\angle (SC;(ABCD\left)\right)=\angle (SC;HC)=\angle SCH={30}^{°}$

+ $\Delta SHC:HC=SH\cdot \cot {30}^{°}=x\sqrt{3},SC=\frac{SH}{\sin {30}^{°}}=2x$

+ \(\Delta SAH:AH = \sqrt {S{A^2} - S{H^2}} = \sqrt {12{a^2} - {x^2}} \)

\( \Rightarrow AD = \frac{4}{3}AH = \frac{4}{3}\sqrt {12{a^2} - {x^2}} ,DH = \frac{1}{4}AD = \frac{1}{3}\sqrt {12{a^2} - {x^2}} \).

+ \(\Delta SAD:SD = \frac{{SH \cdot AD}}{{SA}} = \frac{{x \cdot \frac{4}{3}\sqrt {12{a^2} - {x^2}} }}{{2a\sqrt 3 }} = \frac{{2x\sqrt {12{a^2} - {x^2}} }}{{3a\sqrt 3 }}\).

+ \(\Delta CDH:CD = \sqrt {C{H^2} - D{H^2}} = \sqrt {3{x^2} - \frac{{12{a^2} - {x^2}}}{9}} = \frac{{2\sqrt {7{x^2} - 3{a^2}} }}{3}\).

+ \(CD \bot (SAB) \Rightarrow CD \bot SD \Rightarrow \Delta SCD\) vuông tại \(D\).

\( \Rightarrow S{D^2} + C{D^2} = S{C^2}\)

\( \Leftrightarrow {\left( {\frac{{2x\sqrt {12{a^2} - {x^2}} }}{{3a\sqrt 3 }}} \right)^2} + {\left( {\frac{{2\sqrt {7{x^2} - 3{a^2}} }}{3}} \right)^2} = 4{x^2}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{4{x^2}(12{a^2} - {x^2})}}{{27{a^2}}} + \frac{{4(7{x^2} - 3{a^2})}}{9} = 4{x^2}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{48{a^2}{x^2} - 4{x^4} + 84{x^2}{a^2} - 36{a^4}}}{{27{a^2}}} = 4{x^2}\)

\( \Leftrightarrow 132{a^2}{x^2} - 4{x^4} - 36{a^4} = 108{a^2}{x^2}\)

\( \Leftrightarrow 4{x^4} + 36{a^4} - 24{a^2}{x^2} = 0\)

\( \Leftrightarrow {(2{x^2} - 6{a^2})^2} = 0\)

\( \Leftrightarrow 2{x^2} = 6{a^2}\)

\( \Leftrightarrow {x^2} = 3{a^2} \Leftrightarrow x = a\sqrt 3 = SH\)

\( \Rightarrow CD = \frac{{2\sqrt {21{a^2} - 3{a^2}} }}{3} = 2\sqrt 2 a\)

+ \(\Delta SHK:HI = \frac{{SH \cdot HK}}{{\sqrt {S{H^2} + H{K^2}} }} = \frac{{a\sqrt 3 \cdot 2\sqrt 2 a}}{{\sqrt {3{a^2} + 8{a^2}} }} = \frac{{2a\sqrt {66} }}{{11}}\).

Vậy \(d(M;(SBC)) = \frac{{a\sqrt {66} }}{{11}}\).

Đáp án cần chọn là: D