Một ô tô đi từ A đến C nhưng giữa A và C là một ngọn núi cao nên ô tô phải chạy thành hai đoạn đường từ A đến B và từ B đến C, các đoạn đường này tạo thành tam giác ABC có AB =15 km, BC = 10 km và góc B = 105º. Giả sử người ta khoan hầm qua một núi và tạo ra một con đường thẳng từ A đến C, tính độ dài đoạn đường này.

Áp dụng định lý Cosin trong tam giác ABC, ta có:

\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2.AB.AC.\cos \widehat A\)

\( = {3^2} + {6^2} - 2.3.6.\cos 60^\circ \)= 27

\( \Rightarrow BC = \sqrt {27} = 3\sqrt 3 \)

Ta thấy \(A{B^2} + B{C^2} = A{C^2}\) nên tam giác ABC vuông tại B.

Diện tích tam giác ABC là

\(S = AB.BC = 3.3\sqrt 3 = 9\sqrt 3 \).

Nửa chu vi tam giác ABC là

\[p = \frac{{AB + AC + BC}}{2} = \frac{{3 + 6 + 3\sqrt 3 }}{2} = \frac{{9 + 3\sqrt 3 }}{2}\].

Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC là:

\[r = \frac{S}{P} = \frac{{9\sqrt 3 }}{{\frac{{9 + 3\sqrt 3 }}{2}}} = 3\sqrt 3 - 3\].

Gọi cạnh của tam giác đều ABC là a.

Ta có DC = 3DB

\( \Rightarrow DC = \frac{3}{4}BC\)=\(\frac{3}{4}a\)

Tam giác ABC là tam giác đều \( \Rightarrow \widehat {ACD} = \widehat {ACB} = 60^\circ \)

Áp dụng định lý Cosin trong tam giác ADC, ta có:

\(A{D^2} = A{C^2} + C{D^2} - 2AC.CD.\cos \widehat {ACD}\)

\( = {a^2} + {\left( {\frac{3}{4}a} \right)^2} - 2.a.\frac{3}{4}a.\cos 60^\circ \)=\(\frac{{13}}{{16}}{a^2}\)

\( \Rightarrow AD = \frac{{\sqrt {13} }}{4}a\)

Diện tích tam giác ACD là

\(S = \frac{1}{2}AC.CD.\sin \widehat {ACD} = \frac{1}{2}.a.\frac{3}{4}a.\sin 60^\circ = \frac{{{a^2}3\sqrt 3 }}{{16}}\)

Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ADC là

\(R = \frac{{AD.AC.DC}}{{4S}} = \frac{{\frac{{\sqrt {13} }}{4}a.a.\frac{3}{4}a}}{{4.\frac{{{a^2}3\sqrt 3 }}{{16}}}} = \frac{{\sqrt {39} }}{2}a\).

Nửa chu vi tam giác ACD là:

\(p = \frac{{AD + AC + CD}}{2} = \frac{{\frac{{\sqrt {13} }}{4}a + a + \frac{3}{4}a}}{2} = \frac{{\left( {3 + \sqrt {13} } \right)}}{8}a\).

Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ADC là

\[r = \frac{S}{p} = \frac{{\frac{{{a^2}3\sqrt 3 }}{{16}}}}{{\frac{{\left( {3 + \sqrt {13} } \right)}}{8}a}} = \frac{{3\sqrt 3 }}{{2\left( {3 + \sqrt {13} } \right)}}a\];

\[\frac{R}{r} = \frac{{\frac{{\sqrt {39} }}{2}a}}{{\frac{{3\sqrt 3 }}{{2\left( {3 + \sqrt {13} } \right)}}a}} = \frac{{13 + 3\sqrt {13} }}{3}\].