Cho một số có hai chữ số. Tổng hai chữ số của chúng bằng 10. Tích hai chữ số ấy nhỏ hơn số đã cho là 12. Tìm số đã cho.

Đổi 1 giờ 40 phút = \[\frac{5}{3}\] giờ

Gọi vận tốc của xe lửa đi từ Huế đến Hà Nội là x (km/h, x > 0)

Vì vận tốc của xe thứ hai đi từ Hà Nội vào Huế lớn hơn vận tốc của xe lửa thứ nhất là 5km/h nên vận tốc của xe lửa thứ hai là x + 5 (km/h)

Hai xe gặp nhau tại một ga cách Hà Nội 300km có nghĩa quãng đường xe lửa thứ nhất đi được là 645 – 300 = 345 (m)

Thời gian xe lứa thứ nhất đi đến lúc gặp nhau là \[\frac{{345}}{x}\] (giờ)

Thời gian xe lứa thứ hai đi đến lúc gặp nhau là \[\frac{{300}}{{x + 5}}\] (giờ)

Sau đó 1 giờ 40 phút hai xe lửa gặp nhau nên ta có phương trình:

\[\frac{{300}}{{x + 5}} + \frac{5}{3} = \frac{{345}}{x}\]

\[ \Leftrightarrow \frac{{300.3x}}{{3x\left( {x + 5} \right)}} + \frac{{5x\left( { + 5} \right)}}{{3x\left( {x + 5} \right)}} = \frac{{345.3\left( {x + 5} \right)}}{{3x\left( {x + 5} \right)}}\]

\[ \Leftrightarrow 900x + 5x\left( {x + 5} \right) = 1035\left( {x + 5} \right)\]

\[ \Leftrightarrow 900x + 5{x^2} + 25x = 1035x + 5175\]

\[ \Leftrightarrow {x^2} - 22x - 1035 = 0\]

Giải phương trình ta được x₁ = – 23 (loại) và x₂ = 45 (thỏa mãn)

Vậy vận tốc xe lửa thứ nhất là 45 km/h và vận tốc xe lửa thứ hai là 45 + 5 = 50 km/h.

Gọi thời gian làm việc riêng của người thứ nhất là x (giờ, x > 0)

Trong một giờ người thứ nhất là được \[\frac{1}{x}\] (công việc)

Hai người cùng làm chung một công việc trong 24 giờ thì xong vậy hai làm chung thì trong một giờ làm được \[\frac{1}{{24}}\].

Suy ra trong một giờ người thứ hai làm được \[\frac{1}{{24}} - \frac{1}{x}\] (công việc)

Do năng suất người thứ nhất bằng \[\frac{3}{2}\] năng suất người thứ hai nên ta có phương trình:

\[\frac{1}{x} = \frac{3}{2}\left( {\frac{1}{{24}} - \frac{1}{x}} \right)\]

\[ \Leftrightarrow \frac{1}{x} = \frac{1}{{16}} - \frac{3}{{2x}}\]

\[ \Leftrightarrow \frac{{16}}{{16x}} = \frac{x}{{16x}} - \frac{{24}}{{16x}}\]

\[ \Leftrightarrow 16 = x - 24\]

\[ \Leftrightarrow x = 40\] (thỏa mãn)

Vậy người thứ nhất làm cả công việc thì hoàn thành sau 40 giờ.

Trong một giờ người thứ hai làm được \[\frac{1}{{24}} - \frac{1}{{40}} = \frac{1}{{60}}\].

Người thứ hai làm cả công việc thì hoàn thành sau 60 giờ.