Cho hình chóp \(S.ABCD\) với \(ABCD\) là hình bình hành tâm \(O\). Khi đó giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SAD} \right)\) là:

Ta có tính chất của hàm số cosin: \( - 1 \le {\rm{cos}}\left( {\frac{{\pi t}}{{36}}} \right) \le 1\) với mọi \(t > 0\).

Suy ra giá trị lớn nhất của độ cao \(H\left( t \right)\) là: \({H_{{\rm{max}}}} = 15 \cdot 1 + 22 = 37{\rm{\;(m\'e t)}}\).

Độ cao đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi: \({\rm{cos}}\left( {\frac{{\pi t}}{{36}}} \right) = 1 \Leftrightarrow \frac{{\pi t}}{{36}} = k2\pi  \Leftrightarrow t = 72k\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Vì bài toán yêu cầu tìm thời điểm đầu tiên kể từ lúc bắt đầu quay nên ta cần tìm giá trị \(t\) dương nhỏ nhất, ứng với \(k = 1\): \(t = 72 \cdot 1 = 72{\rm{\;(gi\^a y)}}\)

Vậy sau \(72\) giây thì đỉnh cánh quạt đạt độ cao lớn nhất lần đầu tiên.

a) Giao tuyến của \(\left( {IAC} \right)\) và \(\left( {SBD} \right)\):

Xét hai mặt phẳng \(\left( {IAC} \right)\) và \(\left( {SBD} \right)\), ta có:

Điểm \(I\) là trung điểm của \(SB \Rightarrow I \in SB \subset \left( {SBD} \right)\). Mà \(I \in \left( {IAC} \right)\) nên \(I\) là điểm chung thứ nhất.

Trong mặt phẳng đáy \(\left( {ABCD} \right)\), có \(O\) là tâm hình bình hành \( \Rightarrow O = AC \cap BD\).

Vì \(O \in AC \subset \left( {IAC} \right)\) và \(O \in BD \subset \left( {SBD} \right)\) nên \(O\) là điểm chung thứ hai.

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {IAC} \right)\) và \(\left( {SBD} \right)\) là đường thẳng \(IO\).

b) Giao tuyến của \(\left( {IAC} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\):

Điểm \(C\) thuộc cạnh \(SC \subset \left( {SCD} \right)\) và đồng thời \(C \in \left( {IAC} \right)\) nên \(C\) là điểm chung của hai mặt phẳng \(\left( {IAC} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\).

Xét tam giác \(SBD\), ta có \(I\) là trung điểm của \(SB\), \(O\) là trung điểm của \(BD\) (do \(ABCD\) là hình bình hành tâm \(O\)).

Suy ra \(IO\) là đường trung bình của tam giác \(SBD \Rightarrow IO{\rm{//}}SD\).

Hai mặt phẳng \(\left( {IAC} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\) lần lượt chứa hai đường thẳng song song là \(IO\) (thuộc \(\left( {IAC} \right)\)) và \(SD\) (thuộc \[\left( {SCD} \right)\]), đồng thời chúng có điểm chung là \(C\).

Theo tính chất giao tuyến, giao tuyến của hai mặt phẳng này là đường thẳng \(d\) đi qua \(C\) và song song với cả \(IO\) và \(SD\).

c) Chứng minh \(IT{\rm{//}}AD\)

Xét trong tam giác \(SBC\), ta có \(I\) và \(T\) lần lượt là trung điểm của hai cạnh \(SB\) và \(SC\).

Suy ra \(IT\) là đường trung bình của .

Do đáy \(ABCD\) là hình bình hành nên ta có \(BC{\rm{//}}AD\).

Từ đó suy ra \(IT{\rm{//}}AD\) (đpcm).

d) Giao điểm của \(AI\) và \(\left( {BDT} \right)\)

Trong mặt phẳng đáy \(\left( {ABCD} \right)\), gọi \(O = AC \cap BD\).

Xét tam giác \(SAC\), vì \(O\) và \(T\) lần lượt là trung điểm của \(AC\) và \(SC\) nên \(TO\) là đường trung bình của .

Xét hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {BDT} \right)\) có \(B\) là điểm chung, lần lượt chứa hai đường thẳng \(SA\) và \(TO\) song song với nhau. Do đó, giao tuyến của \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {BDT} \right)\) là đường thẳng \(Bx\) đi qua \(B\) và \(Bx{\rm{//}}SA{\rm{//}}TO\).

Chọn mặt phẳng phụ \(\left( {SAB} \right)\) chứa \(AI\). Trong mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\), gọi \(K\) là giao điểm của \(AI\) và \(Bx\) (\(K = AI \cap Bx\)).

Ta có:

\(K \in AI\);

\(K \in Bx\), mà \(Bx \subset \left( {BDT} \right) \Rightarrow K \in \left( {BDT} \right)\).

Vậy \(K\) chính là giao điểm của đường thẳng \(AI\) và mặt phẳng \(\left( {BDT} \right)\).