Hằng ngày mực nước của một con kênh lên xuống theo thủy triều. Chiều cao của mực nước trong kênh được mô hình hóa bởi hàm số \(h\left( t \right) = 3{\rm{cos}}\left( {\frac{{\pi t}}{{12}} + \frac{\pi }{3}} \right) + 10\), trong đó \(h\left( t \right)\) là độ cao tính bằng centimet của mực nước trong kênh tính trung bình tại thời điểm \(t\) (giờ) trong một ngày (\(0 \le t \le 24\)). Hỏi tại thời điểm nào trong ngày thì mực nước của con kênh đạt độ cao lớn nhất?

a) SAI: Trong tam giác \(SAC\), đường thẳng \(MC\) cắt đường trung tuyến \(SO\) tại trọng tâm \(G\) của tam giác \(SAC\). Điểm \(G\) nằm trên \(SO\) nhưng không phải là trung điểm của tam giác \(SBD\) hay trung điểm của cạnh nào thuộc tam giác \(SBD\) (trung điểm của \(SO\) khác trọng tâm \(G\) vì \(SG = \frac{2}{3}SO\)).

b) ĐÚNG: Ta có \(S \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)\).

Mặt khác \(O = AC \cap BD \Rightarrow O \in AC \subset \left( {SAC} \right)\) và \(O \in BD \subset \left( {SBD} \right) \Rightarrow O \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)\).

Do đó giao tuyến của hai mặt phẳng là đường thẳng \(SO\).

c) SAI: Hai mặt phẳng \(\left( {MBC} \right)\) và \(\left( {SAD} \right)\) không thể song song với nhau vì chúng có điểm chung mở rộng hoặc chứa các đường thẳng cắt nhau từ đỉnh hình chóp (ví dụ như cạnh \(MB\) cắt đường thẳng chứa cạnh thuộc mặt phẳng kia). Đề bài phát biểu điều kiện không có căn cứ hình học phẳng liên kết.

d) SAI: Hai đường thẳng \(BC\) và \(SD\) là hai đường thẳng chéo nhau trong không gian vì chúng không cùng thuộc một mặt phẳng và không có điểm chung (\(BC\) nằm ở đáy, \(SD\) là cạnh bên không đi qua đáy tại \(BC\)). Do đó chúng không thể cắt nhau.

a) ĐÚNG: Ta có mối liên hệ giữa tang và cotang: \({\rm{cot}}\alpha = \frac{1}{{{\rm{tan}}\alpha }} = \frac{1}{3}\).

b) SAI: Hàm số tang tuần hoàn với chu kỳ \(\pi \), do đó \({\rm{tan}}\left( {\alpha + 3\pi } \right) = {\rm{tan}}\alpha = 3\). Đề bài ghi bằng \(3 + 3\pi \) là sai.

c) ĐÚNG: Vì hàm tang là hàm số lẻ nên \({\rm{tan}}\left( { - \alpha } \right) = - {\rm{tan}}\alpha = - 3\).

d) ĐÚNG: Ta tính toán giá trị của \({\rm{cot}}2\alpha \) như sau:

Trước hết tính \({\rm{tan}}2\alpha = \frac{{2{\rm{tan}}\alpha }}{{1 - {\rm{ta}}{{\rm{n}}^2}\alpha }} = \frac{{2 \cdot 3}}{{1 - {3^2}}} = \frac{6}{{ - 8}} = - \frac{3}{4}\).

Suy ra: \({\rm{cot}}2\alpha = \frac{1}{{{\rm{tan}}2\alpha }} = \frac{1}{{ - \frac{3}{4}}} = - \frac{4}{3}\). Khẳng định này đúng.