Hằng ngày mực nước của một con kênh lên xuống theo thủy triều. Chiều cao của mực nước trong kênh được mô hình hóa bởi hàm số \(h\left( t \right) = 3{\rm{cos}}\left( {\frac{{\pi t}}{{12}} + \frac{\pi }{3}} \right) + 10\), trong đó \(h\left( t \right)\) là độ cao tính bằng centimet của mực nước trong kênh tính trung bình tại thời điểm \(t\) (giờ) trong một ngày (\(0 \le t \le 24\)). Hỏi tại thời điểm nào trong ngày thì mực nước của con kênh đạt độ cao lớn nhất?
Hằng ngày mực nước của một con kênh lên xuống theo thủy triều. Chiều cao của mực nước trong kênh được mô hình hóa bởi hàm số \(h\left( t \right) = 3{\rm{cos}}\left( {\frac{{\pi t}}{{12}} + \frac{\pi }{3}} \right) + 10\), trong đó \(h\left( t \right)\) là độ cao tính bằng centimet của mực nước trong kênh tính trung bình tại thời điểm \(t\) (giờ) trong một ngày (\(0 \le t \le 24\)). Hỏi tại thời điểm nào trong ngày thì mực nước của con kênh đạt độ cao lớn nhất?
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Ta có tính chất của hàm số cosin: Với mọi giá trị của biến số \(t\), luôn có: \( - 1 \le {\rm{cos}}\left( {\frac{{\pi t}}{{12}} + \frac{\pi }{3}} \right) \le 1\).
Suy ra: \(h\left( t \right) \le 3 \cdot 1 + 10 = 13{\rm{\;(cm)}}\).
Do đó, mực nước đạt độ cao lớn nhất bằng \(13{\rm{\;cm}}\). Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:
\({\rm{cos}}\left( {\frac{{\pi t}}{{12}} + \frac{\pi }{3}} \right) = 1 \Leftrightarrow \frac{{\pi t}}{{12}} + \frac{\pi }{3} = k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)\( \Leftrightarrow \frac{{\pi t}}{{12}} = - \frac{\pi }{3} + k2\pi \).
Nhân cả hai vế với \(\frac{{12}}{\pi }\), ta được: \(t = - 4 + 24k\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Vì thời gian \(t\) tính theo giờ trong một ngày nên ta có điều kiện \(0 \le t \le 24\):
\(0 \le - 4 + 24k \le 24 \Leftrightarrow 4 \le 24k \le 28 \Leftrightarrow \frac{1}{6} \le k \le \frac{7}{6}\).
Vì \(k\) là số nguyên nên ta chọn được giá trị duy nhất \(k = 1\).
Thay \(k = 1\) vào biểu thức của \(t\), ta được: \(t = - 4 + 24 \cdot 1 = 20\) (giờ).
Kết luận: Mực nước của con kênh đạt độ cao lớn nhất vào lúc 20 giờ trong ngày (tức là 8 giờ tối).
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Ta có \(\frac{{\sqrt 3 }}{2} = {\rm{cos}}\left( {\frac{\pi }{6}} \right)\). Phương trình đã cho tương đương với: \({\rm{cos}}\left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) = {\rm{cos}}\left( {\frac{\pi }{6}} \right)\).
Áp dụng công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản đối với hàm côsin, ta có hai trường hợp:
Trường hợp 1: \(2x - \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{6} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)\( \Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{6} + \frac{\pi }{3} + k2\pi \)\( \Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Trường hợp 2: \(2x - \frac{\pi }{3} = - \frac{\pi }{6} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)\( \Leftrightarrow 2x = - \frac{\pi }{6} + \frac{\pi }{3} + k2\pi \)\( \Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{{12}} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Vậy phương trình có các họ nghiệm là: \(x = \frac{\pi }{4} + k\pi \) và \(x = \frac{\pi }{{12}} + k\pi \) với \(k \in \mathbb{Z}\).
Câu 2
Lời giải
Khoảng \(\left( {\frac{{3\pi }}{2};2\pi } \right)\) ứng với góc phần tư thứ IV trên đường tròn lượng giác.
Tại góc phần tư thứ IV, một điểm biểu diễn trên đường tròn có hoành độ dương và tung độ âm. Do đó: \({\rm{cos}}\alpha > 0\) và \({\rm{sin}}\alpha < 0\).
Kéo theo \({\rm{tan}}\alpha = \frac{{{\rm{sin}}\alpha }}{{{\rm{cos}}\alpha }} < 0\) và \({\rm{cot}}\alpha = \frac{{{\rm{cos}}\alpha }}{{{\rm{sin}}\alpha }} < 0\).
Chọn D.
Câu 3
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập