Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình bình hành \(ABCD\). Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB\) và \(G\) là trọng tâm của tam giác \(SAB\). Lấy điểm \(M\) trên cạnh \(AD\), điểm \(N\) trên cạnh \(HC\) sao cho \(AD = 3AM\), \(HC = 3HN\).

a) Tìm giao tuyến của mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SBD} \right)\).

b) Gọi \(P\) là giao điểm của \(NG\) và mặt phẳng \(\left( {SAD} \right)\). Chứng minh \(G\) là trung điểm của \(PN\).

a) Tìm giao tuyến của mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SBD} \right)\):

Xét hai mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SBD} \right)\), ta có:

Điểm \(S\) là điểm chung thứ nhất của hai mặt phẳng: \(S \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)\).

Trong mặt phẳng đáy \(\left( {ABCD} \right)\), gọi \(O\) là giao điểm của hai đường chéo \(AC\) và \(BD\) (\(O = AC \cap BD\)).

Vì \(O \in AC \subset \left( {SAC} \right) \Rightarrow O \in \left( {SAC} \right)\).

Vì \(O \in BD \subset \left( {SBD} \right) \Rightarrow O \in \left( {SBD} \right)\).

Suy ra \(O\) là điểm chung thứ hai của hai mặt phẳng: \(O \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)\).

Kết luận: Giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SBD} \right)\) là đường thẳng \(SO\).

b) Tìm giao điểm \(P\) và chứng minh \(G\) là trung điểm của \(PN\)

1. Xác định giao điểm \(P\):

Trong mặt phẳng đáy \(\left( {ABCD} \right)\), đường thẳng \(HN\) cắt đường thẳng \(AD\) tại điểm \(K\) (\(K = HN \cap AD\)).

Xét mặt phẳng phụ \(\left( {SHK} \right)\) chứa đường thẳng \(NG\):

Ta có \(K \in AD \subset \left( {SAD} \right) \Rightarrow K \in \left( {SAD} \right)\). Mà \(S \in \left( {SAD} \right)\) nên giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SHK} \right)\) và \(\left( {SAD} \right)\) là đường thẳng \(SK\).

Trong mặt phẳng \(\left( {SHK} \right)\), gọi \(P\) là giao điểm của đường thẳng \(NG\) và giao tuyến \(SK\) (\(P = NG \cap SK\)).

Ta có: \(P \in NG\); \(P \in SK\), mà \(SK \subset \left( {SAD} \right) \Rightarrow P \in \left( {SAD} \right)\).

Vậy \(P\) chính là giao điểm của đường thẳng \(NG\) và mặt phẳng \(\left( {SAD} \right)\).

2. Chứng minh \(G\) là trung điểm của \(PN\):

Ta chứng minh được điểm \(N \in BD\), từ đó suy ra \(K,H,N,C\) thẳng hàng.

Suy ra \(KH = HC\) và \(\frac{{KH}}{{HN}} = 3\). Do đó \(\frac{{NK}}{{NH}} = 4\).

Vì \(G\) là trọng tâm của tam giác \(SAB\) nên \(\frac{{GH}}{{GS}} = \frac{1}{2}\).

Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác \(SKH\) với ba điểm \(P,G,N\) thẳng hàng, ta có \(\frac{{PS}}{{PK}} \cdot \frac{{NK}}{{NH}} \cdot \frac{{GH}}{{GS}} = 1\).

Thay các tỉ số đã biết ta được \(\frac{{PS}}{{PK}} = \frac{1}{2}\), suy ra \(\frac{{SK}}{{SP}} = 3\).

Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác \(KNP\) với ba điểm \(S,G,H\) thẳng hàng, ta có \(\frac{{HN}}{{HK}} \cdot \frac{{SK}}{{SP}} \cdot \frac{{GP}}{{GN}} = 1\).

Từ đó suy ra \(\frac{{GP}}{{GN}} = 1\) hay \(GN = GP\). Vậy \(G\) là trung điểm của \(PN\).