Cho tứ diện \[ABCD\] và \[G\]là trọng tâm tam giác \[BCD\]. Gọi \[P\] là trung điểm của \[AD\], \[H\]là giao điểm của mặt phẳng \[\left( {ABG} \right)\] với cạnh \[CP\], \[E\] là giao điểm \[BH\] và \[AG\]. Khi đó tỉ số \[\frac{{AE}}{{AG}} = \frac{a}{b}\], với \[\frac{a}{b}\] là phân số tối giản và \[a,b \in {\mathbb{N}^*}\]. Tính \[S = {a^6} + {b^6}\].
_____
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án: 4825
Lời giải
Gọi \[M\] trung điểm cạnh \[CD\].
Khi đó \[H = AM \cap CP = CP \cap \left( {ABM} \right) = CP \cap \left( {ABG} \right)\].
Xét tam giác \[ACD\] có \[H\] là trọng tâm.
Theo định lý Thales đảo: \[\frac{{MH}}{{MA}} = \frac{{MG}}{{MB}} = \frac{1}{3} \Rightarrow GH\parallel AB \Rightarrow \frac{{GH}}{{AB}} = \frac{1}{3}\].
Theo định lý Thales: \[GH\parallel AB \Rightarrow \frac{{GH}}{{AB}} = \frac{{EG}}{{EA}} = \frac{1}{3}\].
Suya ra \[\frac{{AE}}{{AG}} = \frac{3}{4}\]. Suy \[a = 3,b = 4 \Rightarrow S = {3^6} + {4^6} = 4825.\]
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
Lời giải
Cách 1: Ta có \(A = {\sin ^2}\alpha .\frac{{{{\sin }^2}\alpha - \sin \alpha \cos \alpha + {{\cos }^2}\alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha }} = {\sin ^2}\alpha \left( {1 - \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} + \frac{{{{\cos }^2}\alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha }}} \right)\)
\( = \frac{1}{{1 + {{\cot }^2}\alpha }}\left( {1 - \cot \alpha + {{\cot }^2}\alpha } \right) = \frac{1}{{1 + {{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2}}}\left( {1 - \sqrt 5 + 5} \right) = \frac{{6 - \sqrt 5 }}{6}\)\( \Rightarrow a = 6\).
Cách 2: \(A = {\sin ^2}\alpha - \sin \alpha \cos \alpha + {\cos ^2}\alpha = 1 - \sin \alpha \cos \alpha \)
\( = {\sin ^2}\alpha \left( {\frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }} - \frac{{\sin \alpha .\cos \alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha }}} \right)\)\( = {\sin ^2}\alpha \left( {\frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }} - \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}} \right)\)\( = \frac{1}{{1 + {{\cot }^2}\alpha }}\left( {1 + {{\cot }^2}\alpha - \cot \alpha } \right)\)
\( = \frac{1}{{1 + {{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2}}}\left( {1 + 5 - \sqrt 5 } \right) = \frac{{6 - \sqrt 5 }}{6}\)\( \Rightarrow a = 6\).
Câu 2
Lời giải
SDSD
Câu 3
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập