Nghiệm của phương trình \[tan3x = \tan \frac{\pi }{3}\] (với \(k \in \mathbb{Z}\)) là

a) Xét hai mặt phẳng \[(SAD)\] và \[(SBC)\]

\[S \in \left( {SAD} \right) \cap \left( {SBC} \right){\rm{ }}\left( 1 \right)\]

Trong (ABCD) gọi \[E = AD \cap BC\] \[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}E \in AD \subset \left( {SAD} \right)\\E \in BC \subset \left( {SBC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow E \in \left( {SAD} \right) \cap \left( {SBC} \right)(2)\]

Từ (1) và (2) suy ra \[\left( {SAD} \right) \cap \left( {SBC} \right) = SE\].

b) Ta có \[MN\] là đường trung bình của tam giác \[SAB\] nên \[MN{\rm{//}}AB\].

Lại có \[ABCD\] là hình thang \[ \Rightarrow AB{\rm{//}}CD\].

a) Vì \({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1\) nên \(\sin \alpha  =  \pm \sqrt {1 - {{\cos }^2}\alpha }  =  \pm \sqrt {1 - \frac{4}{9}}  =  \pm \frac{{\sqrt 5 }}{3}\)

Mà \(\frac{\pi }{2} < \alpha  < \pi  \Rightarrow \sin \alpha  > 0\) suy ra \(\sin \alpha  = \frac{{\sqrt 5 }}{3}\)

Ta có \(\tan \alpha  = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{{\frac{{\sqrt 5 }}{3}}}{{ - \frac{2}{3}}} =  - \frac{{\sqrt 5 }}{2}\) và \(\cot \alpha  = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = \frac{{ - \frac{2}{3}}}{{\frac{{\sqrt 5 }}{3}}} =  - \frac{2}{{\sqrt 5 }}\)

b) \(\begin{array}{l}\sin 2x = \cos 3x \Leftrightarrow \cos 3x = \cos \left( {\frac{\pi }{2} - 2x} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x = \frac{\pi }{2} - 2x + k2\pi \\3x =  - \left( {\frac{\pi }{2} - 2x} \right) + k2\pi \end{array} \right.\\\end{array}\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}5x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\x =  - \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{{10}} + \frac{{k2\pi }}{5}\\x =  - \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.;k \in \mathbb{Z}\)