(2 điểm) Chứng minh dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = 1\,\,912 + n\,\,\,\left( {n \in {\mathbb{N}^*}} \right)\) là cấp số cộng. Xác định công sai, số hạng đầu của \(\left( {{u_n}} \right)\).

Hai vật có cùng li độ khi \({x_1}\left( t \right) = {x_2}\left( t \right)\,\,{\rm{hay}}\,\,8\cos \left( {4\pi t + \frac{\pi }{2}} \right) = - 8\cos \left( {4\pi t} \right)\). (*)

Ta có (*) \( \Leftrightarrow \cos \left( {4\pi t + \frac{\pi }{2}} \right) = \cos \left( {\pi - 4\pi t} \right)\)

          \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}4\pi t + \frac{\pi }{2} = \pi - 4\pi t + k2\pi \\4\pi t + \frac{\pi }{2} = - \pi + 4\pi t + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

          \( \Leftrightarrow t = \frac{1}{{16}} + \frac{k}{4}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Khi hai vật dao động trong thời gian từ 0 đến 10 giây, tức là \(0 \le \frac{1}{{16}} + \frac{k}{4} \le 10 \Leftrightarrow - \frac{1}{4} \le k \le \frac{{159}}{4}\).

Vì \(k \in \mathbb{Z}\) nên \(k \in \left\{ {0;\,\,1;\,\,2;\,\,...;\,39} \right\}\).

Vậy khi hai vật dao động trong thời gian từ 0 đến 10 giây, chúng có cùng li độ 40 lần.

a) \[\sin 2x = \sin \frac{\pi }{5}\]

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = \frac{\pi }{5} + k2\pi \\2x = \pi - \frac{\pi }{5} + k2\pi \end{array} \right.\, \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{{10}} + k\pi \\x = \frac{{2\pi }}{5} + k\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

b) \[\cot \left( {x + 50^\circ } \right) = \sqrt 3 \]

\( \Leftrightarrow \cot \left( {x + 50^\circ } \right) = \cot 30^\circ \)

\( \Leftrightarrow x + 50^\circ = 30^\circ + k180^\circ \)

\( \Leftrightarrow x = - 20^\circ + k180^\circ \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

c) \(\cos \left( {3x - \frac{\pi }{4}} \right) = \cos 2x\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x - \frac{\pi }{4} = 2x + k2\pi \\3x - \frac{\pi }{4} = - 2x + k2\pi \end{array} \right.\, \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\x = \frac{\pi }{{20}} + k\frac{{2\pi }}{5}\end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

d) \(\sin \left( {x + 6} \right) = 2{\cos ^2}5x - 1\)

\( \Leftrightarrow \sin \left( {x + 6} \right) = \cos 10x\)

\( \Leftrightarrow \sin \left( {x + 6} \right) = \sin \left( {\frac{\pi }{2} - 10x} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 6 = \frac{\pi }{2} - 10x + k2\pi \\x + 6 = \pi - \frac{\pi }{2} + 10x + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{{22}} - \frac{6}{{11}} + k\frac{{2\pi }}{{11}}\\x = - \frac{\pi }{{18}} + \frac{2}{3} - k\frac{{2\pi }}{9}\end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).