Trong hệ tọa độ \(Oxy\), cho bốn điểm \(A,B,C,D\) nằm trên đường tròn lượng giác như hình vẽ. Khi đó, điểm \(D\) biểu diễn các góc lượng giác nào?

 

Xét hình vuông cạnh \(x\). Khi chia cạnh thành 4 phần bằng nhau, độ dài mỗi đoạn nhỏ là \(\frac{x}{4}\). Theo quy tắc nối để tạo hình vuông mới nhỏ hơn bên trong, các đỉnh của hình vuông mới sẽ chia cạnh của hình vuông cũ theo tỉ lệ \(1:3\) (một đoạn là \(\frac{x}{4}\) và đoạn còn lại là \(\frac{{3x}}{4}\)).

Áp dụng định lý Pythagore để tính cạnh hình vuông mới (\(x{\rm{'}}\)):

      \({\left( {x{\rm{'}}} \right)^2} = {\left( {\frac{x}{4}} \right)^2} + {\left( {\frac{{3x}}{4}} \right)^2} = \frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{9{x^2}}}{{16}} = \frac{{10}}{{16}}{x^2} = \frac{5}{8}{x^2}\).

Vì diện tích hình vuông bằng bình phương cạnh, gọi \({S_n}\) là diện tích hình vuông thứ \(n\), ta có mối liên hệ: \({S_{n + 1}} = \frac{5}{8}{S_n}\).

Do đó, diện tích các hình vuông lập thành một cấp số nhân với số hạng đầu là diện tích hình vuông \({a_1}\): \({S_1} = {40^2} = 1600\,\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)\) và công bội là \(q = \frac{5}{8} = 0,625\).

Diện tích của hình vuông thứ 20 (\({S_{20}}\)) là: \(a = {S_{20}} = {S_1} \cdot {q^{19}} = 1600 \cdot {\left( {0,625} \right)^{19}} \approx 0,21176\,\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)\).

Làm tròn đến hàng phần trăm: \(a \approx 0,21\).

Đáp số: 0,21.

Nhận xét \({u_n} > 0\) với mọi \(n\). Nghịch đảo hai vế của công thức truy hồi ta được:

      \(\frac{1}{{{u_{n + 1}}}} = \frac{{2{u_n} + 1}}{{{u_n}}} = \frac{1}{{{u_n}}} + 2\).

Đặt \({v_n} = \frac{1}{{{u_n}}}\), ta có \({v_1} = \frac{1}{{{u_1}}} = 1\) và \({v_{n + 1}} = {v_n} + 2\).

Suy ra \(\left( {{v_n}} \right)\) là một cấp số cộng có số hạng đầu \({v_1} = 1\) và công sai \(d = 2\).

Số hạng tổng quát của cấp số cộng \(\left( {{v_n}} \right)\) là: \({v_n} = {v_1} + \left( {n - 1} \right)d = 1 + \left( {n - 1} \right)2 = 2n - 1\).

Biểu thức \(T\) chính là tổng của 50 số hạng đầu tiên của cấp số cộng \(\left( {{v_n}} \right)\):

      \(T = {S_{50}} = \frac{{50 \cdot \left( {{v_1} + {v_{50}}} \right)}}{2} = 25 \cdot \left( {1 + \left( {2 \cdot 50 - 1} \right)} \right) = 25 \cdot \left( {1 + 99} \right) = 25 \cdot 100 = 2500\).

Đáp số: 2500.