Mực nước cao nhất tại một cảng biển là \(12{\rm{m}}\) khi thủy triều lên cao và sau 12 giờ khi thủy triều xuống thấp thì mực nước thấp nhất là \(8{\rm{m}}\). Đồ thị dưới đây mô tả sự thay đổi chiều cao của mực nước tại cảng trong vòng 24 giờ tính từ lúc nửa đêm. Biết chiều cao mực nước \(h\,\left( {\rm{m}} \right)\) theo thời gian \(t\,\left( {\rm{h}} \right)\,\,\left( {0 \le t \le 24} \right)\) được cho bởi công thức \(h = m + a{\rm{cos}}\left( {\frac{\pi }{{12}}t} \right)\) với \(m,a\) là các số thực dương cho trước. Giá trị của \(T = m \cdot a\) là bao nhiêu?

___

Xét hình vuông cạnh \(x\). Khi chia cạnh thành 4 phần bằng nhau, độ dài mỗi đoạn nhỏ là \(\frac{x}{4}\). Theo quy tắc nối để tạo hình vuông mới nhỏ hơn bên trong, các đỉnh của hình vuông mới sẽ chia cạnh của hình vuông cũ theo tỉ lệ \(1:3\) (một đoạn là \(\frac{x}{4}\) và đoạn còn lại là \(\frac{{3x}}{4}\)).

Áp dụng định lý Pythagore để tính cạnh hình vuông mới (\(x{\rm{'}}\)):

      \({\left( {x{\rm{'}}} \right)^2} = {\left( {\frac{x}{4}} \right)^2} + {\left( {\frac{{3x}}{4}} \right)^2} = \frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{9{x^2}}}{{16}} = \frac{{10}}{{16}}{x^2} = \frac{5}{8}{x^2}\).

Vì diện tích hình vuông bằng bình phương cạnh, gọi \({S_n}\) là diện tích hình vuông thứ \(n\), ta có mối liên hệ: \({S_{n + 1}} = \frac{5}{8}{S_n}\).

Do đó, diện tích các hình vuông lập thành một cấp số nhân với số hạng đầu là diện tích hình vuông \({a_1}\): \({S_1} = {40^2} = 1600\,\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)\) và công bội là \(q = \frac{5}{8} = 0,625\).

Diện tích của hình vuông thứ 20 (\({S_{20}}\)) là: \(a = {S_{20}} = {S_1} \cdot {q^{19}} = 1600 \cdot {\left( {0,625} \right)^{19}} \approx 0,21176\,\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)\).

Làm tròn đến hàng phần trăm: \(a \approx 0,21\).

Đáp số: 0,21.

Số lượng cây xoài ở các hàng lập thành một cấp số nhân \(\left( {{a_n}} \right)\) có số hạng đầu \({a_1} = 1\) và công bội \(q = 2\).

a) Đúng: \({a_3} = {a_1} \cdot {q^2} = 1 \cdot {2^2} = 4\).

b) Đúng: Số lượng cây hàng sau gấp đôi hàng trước nên đây là cấp số nhân có \(q = 2\).

c) Sai: Công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân là \({a_n} = {a_1} \cdot {q^{n - 1}} = 1 \cdot {2^{n - 1}} = {2^{n - 1}}\).

d) Sai: Tổng số cây trồng từ hàng 1 đến hàng thứ \(n\) là: \({S_n} = {a_1} \cdot \frac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}} = 1 \cdot \frac{{1 - {2^n}}}{{1 - 2}} = {2^n} - 1\).

Để trồng hết số cây theo quy trình hoàn chỉnh của các hàng sao cho tổng số cây tối thiểu là 2000 cây, ta cần tìm \(n\) sao cho: \({S_n} \ge 2000 \Rightarrow {2^n} - 1 \ge 2000 \Leftrightarrow {2^n} \ge 2001\)

Ta có \({2^{10}} = 1024\) và \({2^{11}} = 2048\). Vậy \(n = 11\).

Tổng số cây cần thiết để hoàn thành đến hàng thứ 11 là: \({S_{11}} = {2^{11}} - 1 = 2047\) cây.

Số cây trung tâm hiện có là 2000 cây.

Vậy số cây cần mua bổ sung tối thiểu là: \(2047 - 2000 = 47{\rm{\;c\^a y}}\).