Cho hàm số \(y = \frac{{ - {x^2} + x + 1}}{{x + 1}}\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) Sai. Doanh thu từ việc bán \(x\) tấn sản phẩm là:

\(R\left( x \right) = x \cdot P\left( x \right) = x\left( {45 - 0,001{x^2}} \right) = 45x - 0,001{x^3}\) (triệu đồng).

Số tiền nhà máy A thu được khi bán 10 tấn sản phẩm chính là doanh thu \(R\left( {10} \right)\):

\(R\left( {10} \right) = 45 \cdot 10 - 0,001 \cdot {10^3} = 450 - 1 = 449\) (triệu đồng).

Do đó khẳng định 600 triệu đồng là sai.

b) Đúng. Chi phí sản xuất 10 tấn sản phẩm là: \(C\left( {10} \right) = 100 + 30 \cdot 10 = 400\) (triệu đồng).

d) Đúng. Hàm lợi nhuận thu được:

\(H\left( x \right) = R\left( x \right) - C\left( x \right) = \left( {45x - 0,001{x^3}} \right) - \left( {100 + 30x} \right) = - 0,001{x^3} + 15x - 100\) (triệu đồng).

c) Đúng. Tìm giá trị lớn nhất của \(H\left( x \right) = - 0,001{x^3} + 15x - 100\) với \(x \in \left[ {0;100} \right]\).

Ta có \(H'\left( x \right) = - 0,003{x^2} + 15\);

\(H'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow - 0,003{x^2} + 15 = 0 \Leftrightarrow {x^2} = 5000 \Leftrightarrow x = \sqrt {5000} = 50\sqrt 2 \approx 70,71\) (tấn).

Vì \(H'\left( x \right)\) đổi dấu từ dương sang âm tại \(x = 50\sqrt 2 \) nên hàm số đạt cực đại (và cũng là giá trị lớn nhất trên đoạn) tại \(x \approx 70,7\) tấn.

Ta viết lại hàm số dưới dạng: \(y = \frac{1}{m}x + \frac{b}{m} + \frac{c}{{mx}}\).

Khi \(x \to \infty \), phần \(\frac{c}{{mx}} \to 0\), nên tiệm cận xiên là đường thẳng \(y = \frac{1}{m}x + \frac{b}{m}\).

Theo giả thiết, hệ số góc của tiệm cận xiên bằng \( - \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{1}{m} = - \frac{1}{2} \Rightarrow m = - 2\).

Hàm số trở thành: \(y = \frac{{{x^2} + bx + c}}{{ - 2x}}\).

Vì đồ thị \(\left( C \right)\) đi qua \(A\left( {1;1} \right)\) và \(B\left( {5;1} \right)\), ta có

\(1 = \frac{{{1^2} + b \cdot 1 + c}}{{ - 2 \cdot 1}} \Rightarrow 1 + b + c = - 2 \Rightarrow b + c = - 3\) (1) và \(1 = \frac{{{5^2} + b \cdot 5 + c}}{{ - 2 \cdot 5}} \Rightarrow 25 + 5b + c = - 10 \Rightarrow 5b + c = - 35\) (2).

Trừ phương trình (2) cho phương trình (1): \(4b = - 32 \Rightarrow b = - 8\).

Thay \(b = - 8\) vào (1): \( - 8 + c = - 3 \Rightarrow c = 5\).

Vậy hàm số hoàn chỉnh là: \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 8x + 5}}{{ - 2x}}\).

Tính \(f\left( { - 1} \right)\): \(f\left( { - 1} \right) = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^2} - 8 \cdot \left( { - 1} \right) + 5}}{{ - 2 \cdot \left( { - 1} \right)}} = \frac{{1 + 8 + 5}}{2} = \frac{{14}}{2} = 7\).

Đáp số: 7.