Trong một cửa hàng, nhà quản lý dự định treo một đồ trang trí trên cao. Vật trang trí được đặt trên giá đỡ nằm dưới thanh treo \(1{\rm{\;m}}\). Biết khoảng cách giữa hai thanh treo là \(3{\rm{\;m}}\). Biết tổng độ dài nhỏ nhất của các đoạn dây xích là (trong đó \(a,b,c\) là các số tự nhiên). Tính \(a + b + c\).

Đáp số: __

a) Sai. Doanh thu từ việc bán \(x\) tấn sản phẩm là:

\(R\left( x \right) = x \cdot P\left( x \right) = x\left( {45 - 0,001{x^2}} \right) = 45x - 0,001{x^3}\) (triệu đồng).

Số tiền nhà máy A thu được khi bán 10 tấn sản phẩm chính là doanh thu \(R\left( {10} \right)\):

\(R\left( {10} \right) = 45 \cdot 10 - 0,001 \cdot {10^3} = 450 - 1 = 449\) (triệu đồng).

Do đó khẳng định 600 triệu đồng là sai.

b) Đúng. Chi phí sản xuất 10 tấn sản phẩm là: \(C\left( {10} \right) = 100 + 30 \cdot 10 = 400\) (triệu đồng).

d) Đúng. Hàm lợi nhuận thu được:

\(H\left( x \right) = R\left( x \right) - C\left( x \right) = \left( {45x - 0,001{x^3}} \right) - \left( {100 + 30x} \right) = - 0,001{x^3} + 15x - 100\) (triệu đồng).

c) Đúng. Tìm giá trị lớn nhất của \(H\left( x \right) = - 0,001{x^3} + 15x - 100\) với \(x \in \left[ {0;100} \right]\).

Ta có \(H'\left( x \right) = - 0,003{x^2} + 15\);

\(H'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow - 0,003{x^2} + 15 = 0 \Leftrightarrow {x^2} = 5000 \Leftrightarrow x = \sqrt {5000} = 50\sqrt 2 \approx 70,71\) (tấn).

Vì \(H'\left( x \right)\) đổi dấu từ dương sang âm tại \(x = 50\sqrt 2 \) nên hàm số đạt cực đại (và cũng là giá trị lớn nhất trên đoạn) tại \(x \approx 70,7\) tấn.

a) Đúng. Ta có: \(\overrightarrow {AC'} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AA'} \) và \(\overrightarrow {A'C} = \overrightarrow {A'A} + \overrightarrow {AC} = - \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AC} \).

Cộng hai vế lại: \(\overrightarrow {AC'} + \overrightarrow {A'C} = \left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AA'} } \right) + \left( { - \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AC} } \right) = 2\overrightarrow {AC} \).

b) Sai. Ta có \(\overrightarrow {BD} \cdot \overrightarrow {A'B} = \left( {\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} } \right) \cdot \left( {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AA'} } \right) = - {\overrightarrow {AB} ^2} = - {a^2}\).

\({\rm{cos}}\left( {\overrightarrow {BD} ,\overrightarrow {A'B} } \right) = \frac{{ - {a^2}}}{{a\sqrt 2 \cdot a\sqrt 2 }} = - \frac{1}{2} \Rightarrow \left( {\overrightarrow {BD} ,\overrightarrow {A'B} } \right) = 120^\circ \).

c) Sai. Vì \(\overrightarrow {CC'} = \overrightarrow {DD'} \) nên \(\overrightarrow {AD'} \cdot \overrightarrow {CC'} = \overrightarrow {AD'} \cdot \overrightarrow {DD'} = \left( {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DD'} } \right) \cdot \overrightarrow {DD'} = \overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {DD'} + {\overrightarrow {DD'} ^2} = 0 + {a^2} = {a^2}\).

d) Đúng. Ta có \(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {DB} = \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right) + \left( {\overrightarrow {CB} - \overrightarrow {CD} } \right) = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AB} = 2\overrightarrow {AB} \).

\(\overrightarrow {BA'} + \overrightarrow {C'D} = \left( {\overrightarrow {AA'} - \overrightarrow {AB} } \right) - \left( { - \overrightarrow {C'C} - \overrightarrow {CD} } \right) = \overrightarrow {AA'} - \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AA'} - \overrightarrow {AB} = - 2\overrightarrow {AB} \).

Tổng lại: \(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BA'} + \overrightarrow {DB} + \overrightarrow {C'D} = 2\overrightarrow {AB} + \left( { - 2\overrightarrow {AB} } \right) = \vec 0\).