Từ một miếng bìa có độ dài hai cạnh là \(0,9{\rm{\;m}}\) và \(1,5{\rm{\;m}}\) như hình bên. Bạn Minh cắt đi phần tô màu xám đen và gấp lại để được một hình hộp chữ nhật. Tìm \(x\) để hình hộp tạo thành có thể tích lớn nhất.
Đáp số: ______
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Quan sát hình vẽ trải phẳng của hình hộp chữ nhật:
Chiều rộng của tấm bìa ban đầu là \(0,9{\rm{\;m}}\). Theo trục dọc, tấm bìa được chia thành các phần gồm: 3 đoạn có độ dài bằng nhau là chiều rộng/chiều cao và 2 đoạn cắt góc \(x\). Nhìn vào sơ đồ: chiều dọc \(0,9{\rm{\;m}}\) gồm có 2 ô vuông cạnh \(x\) ở hai góc kẹp giữa một cạnh của hình hộp. Đoạn ở giữa là các mặt hình hộp.
Cụ thể, chiều rộng miếng bìa được chia thành: \(x\) + (chiều rộng đáy) + \(x = 0,9 \Rightarrow \) Chiều rộng đáy hộp là \(0,9 - 2x\).
Chiều dài của tấm bìa ban đầu là \(1,5{\rm{\;m}}\). Theo trục ngang, miếng bìa được xếp thành 4 mặt bên tuần hoàn của hình hộp chữ nhật có cùng chiều cao là \(x\). Cấu trúc gồm 4 đoạn gấp lại thành chu vi đáy: 2 lần chiều dài đáy và 2 lần chiều rộng đáy.
Do đó: 2 × (chiều dài đáy + chiều rộng đáy) = 1,5.
Biết chiều rộng đáy là \(0,9 - 2x\), ta tìm được chiều dài đáy bằng \(0,75 - \left( {0,9 - 2x} \right) = 2x - 0,15\).
Chiều cao của hình hộp chữ nhật chính là \(x\).
Điều kiện của \(x\): \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x > 0}\\{0,9 - 2x > 0}\\{2x - 0,15 > 0}\end{array} \Rightarrow 0,075 < x < 0,45} \right.\).
Thể tích của hình hộp chữ nhật tạo thành là:
\(V\left( x \right) = \left( {2x - 0,15} \right)\left( {0,9 - 2x} \right)x\)\( = \left( { - 4{x^2} + 2,1x - 0,135} \right)x = - 4{x^3} + 2,1{x^2} - 0,135x\).
Tìm \(x\) để \(V\left( x \right)\) đạt giá trị lớn nhất bằng cách lấy đạo hàm:
\(V'\left( x \right) = - 12{x^2} + 4,2x - 0,135\).
Cho \(V'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow - 12{x^2} + 4,2x - 0,135 = 0\).
Giải phương trình bậc hai này ta được hai nghiệm: \({x_1} = 0,225\) và \({x_2} = 0,12\).
So sánh giá trị hoặc lập bảng biến thiên:
Với \(x = 0,12\): \(V\left( {0,12} \right) = \left( {2 \cdot 0,12 - 0,15} \right)\left( {0,9 - 2 \cdot 0,12} \right) \cdot 0,12 = 0,09 \cdot 0,66 \cdot 0,12 = 0,007128{\rm{\;}}{{\rm{m}}^3}\).
Với \(x = 0,225\): \(V\left( {0,225} \right) = \left( {2 \cdot 0,225 - 0,15} \right)\left( {0,9 - 2 \cdot 0,225} \right) \cdot 0,225 = 0,3 \cdot 0,45 \cdot 0,225 = 0,030375{\rm{\;}}{{\rm{m}}^3}\).
Vì \(V\left( {0,225} \right) > V\left( {0,12} \right)\), hàm số đạt giá trị lớn nhất tại \(x = 0,225{\rm{\;m}}\).
Đáp số: 0,225.
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
a. Số tiền nhà máy A thu được khi bán 10 tấn sản phẩm cho nhà máy B là 600 triệu đồng.
b. Chi phí để nhà máy A sản xuất 10 tấn sản phẩm trong một tháng là 400 triệu đồng.
c. Để thu được lợi nhuận lớn nhất thì mỗi tháng nhà máy A bán cho nhà máy B khoảng 70,7 tấn sản phẩm (số tấn làm tròn đến hàng phần chục).
d. Lợi nhuận mà nhà máy A thu được khi bán \(x\) tấn sản phẩm \(\left( {0 \le x \le 100} \right)\) cho nhà máy B là \(H\left( x \right) = - 0,001{x^3} + 15x - 100\) (triệu đồng).
Lời giải
a) Sai. Doanh thu từ việc bán \(x\) tấn sản phẩm là:
\(R\left( x \right) = x \cdot P\left( x \right) = x\left( {45 - 0,001{x^2}} \right) = 45x - 0,001{x^3}\) (triệu đồng).
Số tiền nhà máy A thu được khi bán 10 tấn sản phẩm chính là doanh thu \(R\left( {10} \right)\):
\(R\left( {10} \right) = 45 \cdot 10 - 0,001 \cdot {10^3} = 450 - 1 = 449\) (triệu đồng).
Do đó khẳng định 600 triệu đồng là sai.
b) Đúng. Chi phí sản xuất 10 tấn sản phẩm là: \(C\left( {10} \right) = 100 + 30 \cdot 10 = 400\) (triệu đồng).
d) Đúng. Hàm lợi nhuận thu được:
\(H\left( x \right) = R\left( x \right) - C\left( x \right) = \left( {45x - 0,001{x^3}} \right) - \left( {100 + 30x} \right) = - 0,001{x^3} + 15x - 100\) (triệu đồng).
c) Đúng. Tìm giá trị lớn nhất của \(H\left( x \right) = - 0,001{x^3} + 15x - 100\) với \(x \in \left[ {0;100} \right]\).
Ta có \(H'\left( x \right) = - 0,003{x^2} + 15\);
\(H'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow - 0,003{x^2} + 15 = 0 \Leftrightarrow {x^2} = 5000 \Leftrightarrow x = \sqrt {5000} = 50\sqrt 2 \approx 70,71\) (tấn).
Vì \(H'\left( x \right)\) đổi dấu từ dương sang âm tại \(x = 50\sqrt 2 \) nên hàm số đạt cực đại (và cũng là giá trị lớn nhất trên đoạn) tại \(x \approx 70,7\) tấn.
Câu 2
A. \(\left( {3; + \infty } \right)\).
B. \(\left( { - 1;3} \right)\).
C. \(\left( { - 3; + \infty } \right)\).
D. \(\left( { - \infty ;1} \right)\).
Lời giải
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy \(f'\left( x \right) > 0\) trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( {3; + \infty } \right)\). Do đó, hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {3; + \infty } \right)\).
Chọn A.
Câu 3
a. \(f\left( 3 \right) < f\left( 2 \right)\).
c. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 3 trên đoạn \(\left[ {0;2} \right]\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
a. \(\overrightarrow {AC'} + \overrightarrow {A'C} = 2\overrightarrow {AC} \).
b. Góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {BD} \) và \(\overrightarrow {A'B} \) bằng \(60^\circ \).
c. \(\overrightarrow {AD'} \cdot \overrightarrow {CC'} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}{a^2}\).
d. \(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BA'} + \overrightarrow {DB} + \overrightarrow {C'D} = \vec 0\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
A. \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CD} \).
B. \(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} \).
C. \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {AC'} \).
D. \(\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \left| {\overrightarrow {CD} } \right|\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập